第1讲数系的扩充与复数的引入1．已知i是虚数单位，则(2＋i)(3＋i)＝()A．5－5iB.7－5iC．5＋5iD．7＋5i解析：选C.(2＋i)(3＋i)＝6＋5i＋i2＝5＋5i，故选C.2．设i是虚数单位，若复数a＋(a∈R)是纯虚数，则a等于()A．－1B.1C．－2D．2解析：选D.因为a＋＝a＋＝a＋＝a－2＋i是纯虚数，所以a＝2.故选D.3．设z＝1＋i(i是虚数单位)，则复数＋z2在复平面内对应的点位于()A．第一象限B.第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选A.因为z＝1＋i，所以＋z2＝＋(1＋i)2＝＋1＋2i＋i2＝＋2i＝1＋i，所以该复数在复平面内对应的点的坐标为(1，1)，位于第一象限，故选A.4．(2019·福建基地综合测试)已知＝1－yi，其中x，y是实数，i是虚数单位，则x＋yi的共轭复数为()A．1＋2iB.1－2iC．2＋iD．2－i解析：选D.＝(x－xi)＝1－yi，所以解得x＝2，y＝1，所以x＋yi＝2＋i，其共轭复数为2－i故选D.5．(2019·安徽江南十校联考)若复数z满足z(1－i)＝|1－i|＋i，则z的实部为()A.B.－1C．1D．解析：选A.由z(1－i)＝|1－i|＋i，得z＝＝＝＋i，故z的实部为，故选A.6．已知t∈R，i为虚数单位，复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·z2是实数，则t等于________．解析：因为z1＝3＋4i，z2＝t＋i，所以z1·z2＝(3t－4)＋(4t＋3)i，又z1·z2是实数，所以4t＋3＝0，所以t＝－.答案：－7．若复数z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则·z＝________．解析：因为z＝1＋2i，所以＝1－2i.所以·＝z·＋1＝5＋1＝6.答案：68．已知复数z满足＝i(其中i是虚数单位)，则|z|＝________．解析：由＝i知，z＋2＝zi－2i，即z＝，所以|z|＝＝＝2.答案：29．计算：(1)；(2)＋；(3).解：(1)＝＝＝＝＋i.(2)＋＝＋＝＋＝－1.(3)＝＝＝＝－－i.10．如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0，3＋2i，－2＋4i，试求：(1)AO、BC所表示的复数；(2)对角线CA所表示的复数；(3)B点对应的复数．解：(1)AO＝－OA，所以AO所表示的复数为－3－2i.因为BC＝AO，所以BC所表示的复数为－3－2i.(2)CA＝OA－OC，所以CA所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)OB＝OA＋AB＝OA＋OC，所以OB所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即B点对应的复数为1＋6i.1．已知＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b＝()A．－7B.7C．－4D．4解析：选A.因为＝1＋＋＝－3－4i，所以－3－4i＝a＋bi，则a＝－3，b＝－4，所以a＋b＝－7，故选A.2．设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则|(1－z)·|＝________．解析：因为z＝－1－i，所以＝－1＋i，所以(1－z)·＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i，所以|(1－z)·|＝|－3＋i|＝.答案：3．已知复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x－2y＋m＝0上，则实数m＝________．解析：z＝＝＝＝1－2i，复数z在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x－2y＋m＝0，得m＝－5.答案：－54．已知i是虚数单位，m，n∈R，且m(1＋i)＝1＋ni，则＝________．解析：由m(1＋i)＝1＋ni，得m＋mi＝1＋ni，即m＝n＝1，所以＝＝i2＝－1.答案：－15．已知复数z的共轭复数是，且满足z·＋2iz＝9＋2i.求z.解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.因为z·＋2iz＝9＋2i，所以(a＋bi)(a－bi)＋2i(a＋bi)＝9＋2i，即a2＋b2－2b＋2ai＝9＋2i，所以由②得a＝1，代入①，得b2－2b－8＝0.解得b＝－2或b＝4.所以z＝1－2i或z＝1＋4i.6．若虚数z同时满足下列两个条件：①z＋是实数；②z＋3的实部与虚部互为相反数．这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由．解：这样的虚数存在，z＝－1－2i或z＝－2－i.设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)，z＋＝a＋bi＋＝a＋bi＋＝＋i.因为z＋是实数，所以b－＝0.又因为b≠0，所以a2＋b2＝5.①又z＋3＝(a＋3)＋bi的实部与虚部互为相反数，所以a＋3＋b＝0.②由①②得解得或故存在虚数z，z＝－1－2i或z＝－2－i.
