高中数学二轮复习关于递推数列求通项的几种常见方法VIP免费

二轮复习关于递推数列求通项的几种常见方法一般地，若数列{an}的连续若干项之间满足递推关系an=f(an-1，an-2，…，an-k)由这个递推关系及k个初始值确定的数列，叫做递推数列。递推数列的重点、难点问题是求通项。求递推数列通项的方法较多、也比较灵活，基本方法如：迭加法；迭乘法；转化为等差、等比数列求通项法；归纳——猜想——证明法等，其中主要的思路是通过转化为等差数列或等比数列来解决问题。1、如an+1=an+f(n)可用迭加法求通项例1已知数列{an}满足a1=1，an+1=an+2n，求通项an。解：由递推公式得an-an-1=2(n-1)an-1-an-2=2(n-2)……a3-a2=2·2a2-a1=2·1以上（n-1）个等式相加得an-a1=2[(n-1)+(n-2)+…+2+1]=2·=n(n-1)又a1=1∴an=1+n(n-1)=n2-n+1注：一般地，f(n)可分解成等差数列、等比数列求和（或常用的数列和公式，如12+22+32+…+n2=等）。2、如an+1=f(n)an(f(n)不是常数)可用迭乘法求通项例2已知数列{an}中，a1=，Sn=n2an，求通项an。解：当n≥2时an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1∴……以上(n-1)个等式相乘得an=(n≥2)∵a1=适合上式∴an=。注：一般地，数列an+1=f(n)an，f(n)是分式的形式，且是n的关系式。3、型如an+1=pan+f(n)(p为常数且p≠0,p≠1)可用转化为等比数列等(1)f(n)=q(q为常数)，可转化为an+1+k=p(an+k)，得{an+k}是以a1+k为首项，p为公比的等比数列。例3已知数列{an}中，a1=1，an+1=3an+2，求通项an。解：设an+1+k=3(an+k)，得an+1=3an+2k与an+1=3an+2比较得k=1∴原递推式可变为an+1+1=3(an+1)∴=3∴{an+1}是一个以a1+1=2为首项，以3为公比的等比数列∴an+1=2·3n-1∴an=2·3n-1-1。注：一般地，对递推关系式an+1=pan+q(p、q为常数且，p≠0，p≠1)可等价地改写成则{}成等比数列，实际上，这里的是特征方程x=px+q的根。(2)f(n)为等比数列，如f(n)=qn(q为常数)，两边同除以qn，得，令bn=，可转化为bn+1=pbn+q的形式。4已知数列{an}中，a1=，an+1=an+（）n+1，求an的通项公式。解：an+1=an+（）n+1乘以2n+1得2n+1an+1=(2nan)+1令bn=2nan则bn+1=bn+1(解法同例3)易得bn=即2nan=∴an=(3)f(n)为等差数列例5已知已知数列{an}中，a1=1，an+1+an=3+2n，求an的通项公式。解：∵an+1+an=3+2n，an+2+an+1=3+2(n+1)，两式相减得an+2-an=2因此得，a2n+1=1+2(n-1),a2n=4+2(n-1),∴an=。注：一般地，这类数列是递推数列的重点与难点内容，要理解掌握。4、如an+1=(p、q、r、s为常数)可构造为an+1=pan+q类型例6已知数列{an}中，a1=4，且an+1=，求通项an。解：∵an+1-1=-1=an+1+2=+2=于是=从而有{}成等比数列。故有=（）n-1=（）n-1∴(nN)。注：一般地，设α、β是递推关系的an+1=(p、q、r、s为常数)的特征方程x=(p≠0,rq-ps≠0)的两根。（1）若α≠β，可令bn=，则{bn}成等比数列；（2）α=β，可令bn=，则{bn}成等差数列。5、型如an+2=pan+1+qan(p、q为常数)变形为an+2-αan+1=β(an+1-αan)可转化为等比数列例7已知{an}中，a1=1，a2=2，an+2=an+1+an，求an的通项公式。解：设an+2-αan+1=β(an+1-αan)，变形得an+2=（α+β）an+1-αβan，与an+2=an+1+an比较得∴或∴an+2-an+1=-(an+1-an)或an+2+an+1=an+1+an得数列{an-an-1}是以1为首项，公比为-的等比数列，（或得数列{an+an-1}是以为首项，公比为1的等比数列）即an-an-1=（-）n-1或an+an-1=(n≥2)（解法同例1或例2）易得an=∵a1=1适合上式∴an=注：一般地，若apn+2+bpn=1+cpn=0可等价地改写pn+2-αpn+1=β(pn+1-αpn)或pn+2-βpn+1=α(pn+1-βpn)两种形式，则{pn+1-αpn}以及{pn+1-βpn}都成等比数列，分别求通项后再联立解出pn即可。这里α、β是方程ax2+bx+c=0的两个不等实根。也可用下法求pn：设α、β是递归关系apn+2+bpn=1+cpn=0的特征方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根。（1）当α≠β时，pn=Aαn+Bβn；（2）当α=β时，pn=(An+B)αn。其中常数A，B由初始值用待定系数法决定。