专题 11 利用垂线段最短求最值（三大类型含“胡不归”)（知识解读）【专题说明】 初中几何的最值问题，主要是求一条或两条线段长度的最大（最小）值，三角形或四边形周长的最小值，对一些简单问题可以通过诸如“两点之间线段最短”“垂线段最短”等定理解决【方法技巧】类型一：一动一定型如图，已知直线 l 外一定点 A 和直线 l 上一动点 B，求 A、B 之间距离的最小值 。通常过点 A 作直线 l 的垂线 AB，利用垂线段最短解决问题，即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．类型二：两动一定型如图，直线 AB，AC 相交于点 A，点 M 是平面内一点，点 P，点 N 分别是 AC，AB 上一动点，试确定点 P，N 的位置，使 MP+PN 的值最小．解题思路：一找：第一步：作点 M 关于 AC 的对称点 M；第二步：过点 M′作 M′N⊥AB 于点 N，交 AC 于点 P；二证：证明 MP+PN 的最小值为 M′N．类型三：一定两动型（胡不归问题）“胡不归” 问题即点 P 在直线 l 上运动时的 “ PA＋k·PB ( 0 < k < 1 ) ” 型最值问题 .问题：如图 ①，已知 sinMBN∠＝k，点 P 为 ∠MBN 其中一边 BM 上的一个动点，点 A 在射线 BM、BN 的同侧，连接 AP，则当 “ PA＋k·PB ” 的值最小时，点 P 的位置如何确定？解题思路：过点 P 作 PQBN ⊥于点 Q，则 k·PB＝PB·sinMBN∠＝PQ， ∴ 可将求 “ PA＋k·PB ” 的最小值转化为求 “ PA＋PQ ” 的最小值 ( 如图 ② )， ∴ 当 A、Q、P 三点共线时，PA＋PQ 的值最小 ( 如图 ③ )，此时 AQBN .⊥【典例分析】【典例 1】模型分析问题：如图，点 A 为直线 l 外一定点，点 P 为直线 l 上一动点，试确定点 P 的位置，使AP 的值最小．解题思路：一找：过点 A 作直线 l 的垂线交直线 l 于点 P；二证：证明 AP 是点 A 到直线 l 的最短距离．请写出【模型分析】中解题思路“二证”的过程．【变式 1-1】如图，在矩形 ABCD 中，AC＝8，∠BAC＝30°，点 P 是对角线 AC 上一动点，连接 BP．（1）线段 BP 的最小值为 ；（2）若以 AP，BP 为邻边作▱APBQ，连接 PQ，则线段 PQ 的最小值为 ．【变式 1-2】如图，在 Rt△ABC 中，AB＝3，BC＝4，经过点 B 且与边 AC 相切的动圆与AB，BC 分别相交于点 P，Q，则线段 PQ 的最小值为 ．【变式 1-3】如图，Rt△ABC 斜边 A...
