专题 12 两之间线段最短求最值（四大类型含将军饮马）（知识解读）【专题说明】 “两点之间，线段最短”是初中数学中的基本定理之一，也是人们在生活中认识到的基本事实，而对于数学中的最值问题，学生往往无从下手，其实往往就是这个基本定理的应用。【方法技巧】模型一 “一线两点”型(一动＋两定)类型一 异侧线段和最小值问题问题： 两定点 A，B 位于直线 l 异侧，在直线 l 上找一点 P，使 PA＋PB 值最小．【解题思路】根据两点之间线段最短，PA＋PB 的最小值即为线段 AB 的长．连接AB 交直线 l 于点 P，点 P 即为所求． 类型二 同侧线段和最小值问题(将军饮马模型)问题：两定点 A，B 位于直线 l 同侧，在直线 l 上找一点 P，使得 PA＋PB 值最小．【解题思路】将两定点同侧转化为异侧问题，同类型一即可解决．作点 B 关于 l的对称点 B′，连接 AB′，与直线 l 的交点即为点 P. 类型三 同侧差最大值问题问题：两定点 A，B 位于直线 l 同侧，在直线 l 上找一点 P，使得|PA－PB|的值最大．【解题思路】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA－PB|≤AB，当 A，B，P三点共线时，等号成立，即|PA－PB|的最大值为线段 AB 的长．连接 AB 并延长，与直线 l 的交点即为点 P. 类型四 异侧差最大值问题问题：两定点 A，B 位于直线 l 异侧，在直线 l 上找一点 P，使得|PA－PB|的值最大．【解题思路】将异侧点转化为同侧，同类型三即可解决． 模型二 “一点两线”型(两动＋一定)问题：点 P 是∠AOB 的内部一定点，在 OA 上找一点 M，在 OB 上找一点 N，使得△PMN 周长最小．【解题思路】要使△PMN 周长最小，即 PM＋PN＋MN 值最小．根据两点之间线段最短，将三条线段转化到同一直线上即可． 模型三 “两点两线”型(两动＋两定)问题：点 P，Q 是∠AOB 的内部两定点，在 OA 上找点 M，在 OB 上找点 N，使得四边形 PQNM 周长最小．【解题思路】要使四边形 PQNM 周长最小，PQ 为定值，即求得 PM＋MN＋NQ 的最小值即可，需将线段 PM，MN，NQ 三条线段尽可能转化在一条直线上，因此想到作点 P 关于 OA 的对称点，点 Q 关于 OB 的对称点．【典例分析】【典例 1-1】基本模型问题：如图，定点 A，B 位于动点 P 所在直线 l 同侧试确定点 P 的位置，使 AP+BP 的值最小．解题思路：一找：作点 B 关于直线 l 的对称点 B'，连接 AB′，...
