数学数学新课标（新课标（RJRJ）九年级上册）九年级上册教材重难处理教材重难处理教材重难处理教材重难处理新知梳理新知梳理新知梳理新知梳理重难互动探究重难互动探究重难互动探究重难互动探究24.124.1圆的有关性质圆的有关性质24.1.224.1.2垂直于弦的直径垂直于弦的直径教材重难处理教材重难处理►►教材教材【【例例22】】分层分析分层分析24.1.224.1.2垂直于弦的直径垂直于弦的直径赵州桥（图24－1－23）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.图24－1－2324.1.224.1.2垂直于弦的直径垂直于弦的直径［分析］（1）赵州桥中，主桥拱是什么图形？跨度、拱高对应圆中的什么？（2）画出图形如图24－1－24.图24－1－24（3）如何利用勾股定理和垂径定理求半径？［答案］略新知梳理新知梳理►►知识点一圆的轴对称性知识点一圆的轴对称性24.1.224.1.2垂直于弦的直径垂直于弦的直径圆是图形，任何一条直径所在直线都是它的.轴对称对称轴►►知识点二垂径定理及其推论知识点二垂径定理及其推论24.1.224.1.2垂直于弦的直径垂直于弦的直径垂径定理：垂直于弦的直径平分，并且平分.推论：平分弦（不是直径）的直径于弦，并且弦所对的两条弧.思考：这里的“弦不是直径”，为什么？弦弦所对的两条弧垂直平分重难互动探究重难互动探究探究问题一垂径定理的运用探究问题一垂径定理的运用24.1.224.1.2垂直于弦的直径垂直于弦的直径例1如图24－1－28，⊙O的半径为17cm，弦ABCD∥，AB＝30cm，CD＝16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离.图24－1－2824.1.224.1.2垂直于弦的直径垂直于弦的直径［解析］如图24－1－29，过圆心O作弦AB的垂线，易证它也与弦CD垂直，由垂径定理知AE＝BE，CF＝DF，根据勾股定理可求OE，OF的长，进而可求出AB和CD的距离.图24－1－2924.1.224.1.2垂直于弦的直径垂直于弦的直径解：如图24－1－29，过点O作OE⊥AB，交CD于F，连接OA，∵AB∥CD，∴OF⊥CD.在Rt△OAE中，∵OA＝17，AE＝BE＝12AB＝15，∴OE＝172－152＝8，同理可求OF＝172－82＝15.∵圆心O位于AB，CD的上方，∴EF＝OF－OE＝15－8＝7，即AB和CD的距离是7cm.［归纳总结］在圆中解有关弦心距、半径的问题时，常作“过圆心的直线”这一辅助线，把垂径定理和勾股定理结合起来解题.探究问题二垂径定理在实际生活中的应用探究问题二垂径定理在实际生活中的应用24.1.224.1.2垂直于弦的直径垂直于弦的直径例2［教材问题变式题］“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”答曰：“26寸”.题目用现在的数学语言表达：“如图24－1－30所示，CD是⊙O的直径，弦ABCD⊥，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长.”图24－1－3024.1.224.1.2垂直于弦的直径垂直于弦的直径［解析］连接OA，构造RtAOE△，利用勾股定理及垂径定理解答.解：连接OA.∵CD⊥AB于E，CD为直径，∴AE＝12AB＝12×10＝5（寸）.在Rt△AEO中，设AO＝x，则OE＝x－1.由勾股定理，得x2＝52＋（x－1）2，解得x＝13，∴OA＝13寸，∴CD＝2OA＝26（寸），即直径CD的长为26寸.24.1.224.1.2垂直于弦的直径垂直于弦的直径［归纳总结］建模思想：运用垂径定理解题时的模型如下：如图24－1－31，设⊙O的半径是r，圆心到弦的距离是d，弦长是a，三者之间的关系是r2＝d2＋a22.图24－1－31常见的辅助线：（1）连半径，构造直角三角形；（2）作弦心距，构造直角三角形.
