第二节矩阵与变换(选修42)矩阵的线性变换与矩阵的乘法考向聚焦二阶矩阵的乘法以及点或曲线在某种变换下得到的点或曲线的方法是高考命题的一个热点,一般以解答题的形式出现,难度中档,分值占10分左右备考指津(1)通过平面图形的变换,明确线性变换的几何背景,理解和掌握线性变换的基础知识和基本思想;(2)加强与相关知识的联系,重视数学思想方法的提炼,数形结合、类比、归纳,从具体到抽象数学思想方法要加以体会和利用1.(年江苏卷,21B)已知矩阵A=,向量β=.求向量α,使得A2α=β.解:A2==,设α=,由A2α=β,得=,即=,从而解得,所以α=.2.(年福建卷,理21)已知矩阵M=,N=,且MN=.(1)求实数a,b,c,d的值;(2)求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程.解:法一:(1)由MN===从而解得(2)因为矩阵M对应的线性变换将直线变成直线(或点),所以可取直线y=3x上的两点(0,0),(1,3).由(1)M=,由,=,=得点(0,0),(1,3)在矩阵M所对应的线性变换作用下的像分别是点(0,0),(-2,2).从而直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程为y=-x.法二:(1)同法一.(2)设直线y=3x上的任意点(x,y)在矩阵M所对应的线性变换作用下的像是点(x',y'),由===得x'=-2x,y'=2x,所以y'=-x',即点(x',y')必在直线y=-x上.由(x,y)的任意性可知,直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程为y=-x.(1)对于图形变换,首先要分清哪个是变换前的,哪个是变换后的,以及变换的途径,以防因颠倒而出错.(2)善于运用线性变换、变换的复合转化为方程组求解.逆变换与逆矩阵考向聚焦高考中主要考查点,直线在线性变换作用下参数的取值以及逆矩阵的求法,主要以解答题的形式出现,分值占10分左右备考指津(1)线性变换复合时要注意复合的顺序:先进行变换g,再进行变换f,复合后的变换为f·g,而不是g·f.(2)逆矩阵的求法有两种:一是利用待定系数法;二是利用公式,即当A=,detA≠0时,A-1=3.(年上海数学,理3,4分)函数f(x)=的值域是.解析:f(x)=2×(-1)-sinxcosx=-2-sin2x,由于-1≤sin2x≤1,所以-≤-2-sin2x≤-,即-≤f(x)≤-.答案:[-,-]4.(年江苏数学,21B,10分)已知矩阵A的逆矩阵A-1=求矩阵A的特征值.解:因为A-1A=E,所以A=(A-1)-1.因为A-1=,所以A=(A-1)-1=,于是矩阵A的特征多项式为f(λ)==λ2-3λ-4.令f(λ)=0,解得A的特征值λ1=-1,λ2=4.5.(年福建卷,理21(1),7分)设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵A=(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1.①求实数a,b的值;②求A2的逆矩阵.解:①设曲线2x2+2xy+y2=1上任意点P(x,y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P'(x',y').由==,得.又点P'(x',y')在x2+y2=1上,所以x'2+y'2=1,即a2x2+(bx+y)2=1,整理得(a2+b2)x2+2bxy+y2=1,依题意得解得或因为a>0,所以②由①知,A=,A2==,所以|A2|=1,(A2)-1=.
