课时分层作业(二十一)向量应用举例(建议用时：60分钟)[合格基础练]一、选择题1．一个人骑自行车行驶速度为v1，风速为v2，则逆风行驶的速度的大小为()A．v1－v2B．v1＋v2C．|v1|－|v2|D．C[根据速度的合成可知．]2．若OF1＝(2,2)，OF2＝(－2,3)分别表示F1，F2，则|F1＋F2|为()A．(0,5)B．25C．2D．5D[因为F1＋F2＝(0,5)，所以|F1＋F2|＝＝5.]3．已知直线l：mx＋2y＋6＝0，向量(1－m,1)与l平行，则实数m的值为()A．－1B．1C．2D．－1或2D[l的方向向量为v＝(－2，m)，由v与(1－m,1)平行得－2＝m(1－m)，∴m＝2或－1.]4．已知点O在△ABC所在平面上，若OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()A．三条中线交点B．三条高线交点C．三条边的中垂线交点D．三条角平分线交点B[ OA·OB＝OB·OC，∴(OA－OC)·OB＝CA·OB＝0，∴OB⊥CA.同理可证OC⊥AB，OA⊥BC，∴点O是三条高线交点．]5.如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB中点，若DE⊥AC，则DE＝()A．B．2C．3D．2B[如图，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(4,0)，E(2,0)．设AD＝m.则D(0，m)，C(4，m)． DE⊥AC，∴DE·AC＝0，而DE＝(2，－m)，AC＝(4，m)，∴8－m2＝0，即m2＝8，∴|DE|＝＝＝2.]二、填空题6．点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v＝(2，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位长度)．设开始时点P的坐标为(－1,1)，则3秒后点P的坐标为________．(5，－8)[设点A(－1,1)，3秒后点P运动到B点，则AB＝3v，所以OB－OA＝3v，所以OB＝OA＋3v＝(－1,1)＋3(2，－3)＝(5，－8)．]7．河水的流速为2m/s，一艘小船以10m/s的速度向垂直于对岸的方向行驶，则小船在静水中的速度大小为________m/s.2[设河水的流速为v1，小船在静水中的速度为v2，船的实际速度为v，则v＝v1＋v2，|v1|＝2，|v|＝10.因为v⊥v1，所以v·v1＝0，所以|v2|＝|v－v1|＝＝＝＝2.]8．在边长为1的正三角形ABC中，设BC＝2BD，CA＝3CE，则AD·BE＝________.－[选CA，CB为基底，则AD＝－CA＋CB，BE＝－CB＋CA，∴AD·BE＝·＝－CA2－CB2＋CA·CB＝－－＋×1×1×cos60°＝－.]三、解答题9．过点A(－2,1)，求：(1)与向量a＝(3,1)平行的直线方程；(2)与向量b＝(－1,2)垂直的直线方程．[解]设所求直线上任意一点P(x，y)， A(－2,1)，∴AP＝(x＋2，y－1)．(1)由题意知AP∥a，∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0，即x－3y＋5＝0.∴所求直线方程为x－3y＋5＝0.(2)由题意，知AP⊥b，∴(x＋2)×(－1)＋(y－1)×2＝0，即x－2y＋4＝0，∴所求直线方程为x－2y＋4＝0.10．已知长方形AOCD，AO＝3，OC＝2，E为OC中点，P为AO上一点，利用向量知识判定点P在什么位置时，∠PED＝45°.[解]如图，建立平面直角坐标系，则C(2,0)，D(2,3)，E(1,0)，设P(0，y)，∴ED＝(1,3)，EP＝(－1，y)，∴|ED|＝，|EP|＝，ED·EP＝3y－1，代入cos45°＝＝＝.解得y＝－(舍)或y＝2，∴点P在靠近点A的AO的三等分处．[等级过关练]1．已知点A(，1)，B(0,0)，C(，0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有BC＝λCE，其中λ等于()A．2B．C．－3D．－C[如图所示，由题知∠ABC＝30°，∠AEC＝60°，CE＝，∴＝3，∴BC＝－3CE.]2．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形B[ |OB－OC|＝|CB|＝|AB－AC|，|OB＋OC－2OA|＝|AB＋AC|，∴|AB－AC|＝|AB＋AC|，设AB＋AC＝AD，∴四边形ABDC是矩形，且∠BAC＝90°.∴△ABC是直角三角形．]3．已知向量AB与AC的夹角为120°，且|AB|＝3，|AC|＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，则实数λ的值为________．[BC＝AC－AB，由于AP⊥BC，所以AP·BC＝0，即(λAB＋AC)·(AC－AB)＝－λAB2＋AC2＋(λ－1)·AB·AC＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×＝0，解得λ＝.]4.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为________．2[ O是BC的中点，∴AO＝(AB＋AC)．又 AB＝mAM，AC＝nAN，∴AO＝AM＋AN. M，O，N三点共线，∴＋＝1.则m＋n＝2.]5．已知e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，今有动点P从P0(－1,2)开始，沿着与向量e1＋...
