第四节双曲线双曲线的定义及应用考向聚焦高考常考内容,主要考查根据双曲线定义:(1)判断曲线的类型;(2)求双曲线的方程;(3)解决有关焦点三角形的问题,一般以选择题、填空题形式出现,难度不大,所占分值4~5分1.(年全国大纲卷,文10,5分)已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2等于()(A)(B)(C)(D)解析:由题意可得双曲线中c=2,由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2,∴|PF1|=4,在三角形PF1F2中由余弦定理得cos∠F1PF2==,故选C.答案:C.本题主要考查双曲线的定义,余弦定理等基础知识.解题的关键是根据双曲线的定义求得三角形F1PF2的边长,由余弦定理求得∠F1PF2的余弦值.2.(年全国卷Ⅰ,文8)已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|等于()(A)2(B)4(C)6(D)8解析:由双曲线定义得||PF1|-|PF2||=2a.即|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4a2①在△F1PF2中,由余弦定理得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°=4c2②②-①得,|PF1|·|PF2|=4(c2-a2)=4b2=4.故选B.答案:B.3.(年天津卷,文11,5分)已知双曲线C1:-=1(a>0,b>0)与双曲线C2:-=1有相同的渐近线,且C1的右焦点为F(,0),则a=,b=.解析: C1与C2有相同的渐近线,∴=2,又 c=,∴a=1,b=2.答案:12双曲线的标准方程与几何性质考向聚焦高考热点内容主要考查:(1)双曲线标准方程的求法;(2)求双曲线离心率;(3)求双曲线渐近线.多以选择题、填空题形式出现,难度中低档,所占分值4~5分4.(年福建卷,文5,5分)已知双曲线-=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于()(A)(B)(C)(D)解析: 双曲线的右焦点为(3,0),即c=3,∴a2+5=9,a2=4,a=2,∴e==,故选C.答案:C.本题考查双曲线的离心率的计算方法,属容易题.5.(年湖南卷,文6,5分)已知双曲线C:-=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为()(A)-=1(B)-=1(C)-=1(D)-=1解析:由题意2c=10,故c=5,a2+b2=c2=25.又点P(2,1)在渐近线y=x上,故=,a2=4b2,所以a2=20,b2=5,双曲线C方程为-=1答案:A.6.(年新课标全国卷,文10,5分)等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为()(A)(B)2(C)4(D)8解析:设双曲线方程为x2-y2=a2(a>0),由抛物线的准线方程为x=-4,代入上式得y=±.∴16-a2=12,a2=4,a=2,故双曲线的实轴长为2a=4.答案:C.7.(年安徽卷,文3)双曲线2x2-y2=8的实轴长是()(A)2(B)2(C)4(D)4解析:将双曲线方程化为-=1,则a=2,∴实轴长2a=4.故选C.答案:C.8.(年湖南卷,文6)设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为()(A)4(B)3(C)2(D)1解析:双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为y=±x,又 渐近线方程为3x±2y=0即y=±x,∴=,∴a=2.∴选C.答案:C.9.(年新课标全国卷,文5)中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为()(A)(B)(C)(D)解析:由题意设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),则渐近线方程为y=±x.又因为(4,-2)在渐近线y=-x上,则有-2=-,∴a=2b,又 c2=a2+b2=5b2.∴c=b,∴e===,故选D.答案:D.10.(年辽宁卷,文9)设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为()(A)(B)(C)(D)解析:设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),F(c,0),B(0,b),由题意知-·=-1,即b2=ac,∴c2-a2=ac.∴e2-e-1=0,解得e=,又e>1,所以e=,故选D.答案:D.11.(年浙江卷,文10)设O为坐标原点,F1、F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点,若在双曲线上存在点P,满足∠F1PF2=60°,|OP|=a,则该双曲线的渐近线方程为()(A)x±y=0(B)x±y=0(C)x±y=0(D)x±y=0解析:如图,不妨设P在右支上,延长PO交双曲线于P',则P与P'关于(0,0)对称,从而四边形F1PF2P'为平行四边形,∴|PP'|=2a, ∠F1PF2=60°,∴∠PF1P'=120°,设|PF2|=|P'F1|=x,则|PF1|=2a+x.在△PF1P'中,由余弦定理可得|PP'|2=|PF1|2+|P'F1|2-2|PF1|·|P'F1|cos∠PF1P'.∴28a2=(2a+x)2+x2-2x(2a+x)cos120°,解得x=2a,∴|PF1|=4a,|PF2|=2a,在△F1PF2中,由余弦定理可得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°=|F1F2|2,∴16a2+4a2-2×4a×2a×=4c2,∴c2=3a2,∴a2+b2=3a2,∴b=a,∴双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,即x±y=0.故选D.答案:D.解决本题的关键是找到对称点P'...
