备战数学应考能力大提升典型例题例1如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E.(1)证明：△ABE∽△ADC；(2)若△ABC的面积S＝AD·AE，求∠BAC的大小．解析：(1)证明：由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.因为∠AEB与∠ACB是同弧所对的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD.故△ABE∽△ADC.(2)因为△ABE∽△ADC，所以＝，即AB·AC＝AD·AE.又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE，故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE.则sin∠BAC＝1，又∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝90°.例2如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE∥AC，并交CD于E，交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC＝ED＝1，PA＝2.(1)求AC的长；(2)求证：EF＝BE.解析：(1)∵PA2＝PC·PD，PA＝2，PC＝1，∴PD＝4.又∵PC＝ED＝1，∴CE＝2.∵∠PAC＝∠CBA，∠PCA＝∠CAB，△PAC∽△CBA，∴＝，∴AC2＝PC·AB＝2，∴AC＝.(2)证明：∵CE·ED＝BE·EF，BE＝AC＝，∴EF＝＝，∴EF＝BE.创新题型1．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B，C，∠APC的角平分线分别与AB，AC相交于点D，E，求证：(1)AD＝AE；(2)AD2＝DB·EC.2．如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB、FC.(1)求证：FB＝FC；(2)求证：FB2＝FA·FD；(3)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6cm，求AD的长.答案2(1)证明：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC.∵四边形AFBC内接于圆，∴∠DAC＝∠FBC.∵∠EAD＝∠FAB＝∠FCB，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC.(2)证明：∵∠FAB＝∠FCB＝∠FBC，∠AFB＝∠BFD，∴△FBA∽△FDB.∴＝，∴FB2＝FA·FD.(3)∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠EAC＝120°，∴∠DAC＝∠EAC＝60°，∴∠BAC＝∠BFC＝60°，∠FDB＝30°，∴△FBC为正三角形，又BC＝6，在Rt△ABC中，∴AC＝2，∴在Rt△ACD中，AD＝4.
