备战数学应考能力大提升典型例题例1如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E
(1)证明：△ABE∽△ADC；(2)若△ABC的面积S＝AD·AE，求∠BAC的大小．解析：(1)证明：由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD
因为∠AEB与∠ACB是同弧所对的圆周角，所以∠AEB＝∠ACD
故△ABE∽△ADC
(2)因为△ABE∽△ADC，所以＝，即AB·AC＝AD·AE
又S＝AB·ACsin∠BAC，且S＝AD·AE，故AB·ACsin∠BAC＝AD·AE
则sin∠BAC＝1，又∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝90°
例2如图，AB、CD是圆的两条平行弦，BE∥AC，并交CD于E，交圆于F，过A点的切线交DC的延长线于P，PC＝ED＝1，PA＝2
(1)求AC的长；(2)求证：EF＝BE
解析：(1)∵PA2＝PC·PD，PA＝2，PC＝1，∴PD＝4
又∵PC＝ED＝1，∴CE＝2
∵∠PAC＝∠CBA，∠PCA＝∠CAB，△PAC∽△CBA，∴＝，∴AC2＝PC·AB＝2，∴AC＝
(2)证明：∵CE·ED＝BE·EF，BE＝AC＝，∴EF＝＝，∴EF＝BE
创新题型1．如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B，C，∠APC的角平分线分别与AB，AC相交于点D，E，求证：(1)AD＝AE；(2)AD2＝DB·EC
2．如图，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D，延长DA交△ABC的外接圆于点F，连结FB、FC
(1)求证：FB＝FC；(2)求证：FB2＝FA·FD；(3)若AB是△ABC外接圆的直径，∠EAC＝120°，BC＝6cm，求AD的长
答案2(1)证明：∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC
∵四边形AFBC内接于圆，∴∠DAC＝∠FBC
∵∠EAD＝∠FAB＝∠FCB，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC
