D7_3齐次方程VIP免费

目录上页下页返回结束齐次方程第三节一、齐次方程*二、可化为齐次方程的方程第七章目录上页下页返回结束一、齐次方程形如的方程叫做齐次方程.令,xyu代入原方程得)(dduxuxuxxuuud)(d两边积分,得xxuuud)(d积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:目录上页下页返回结束例1.解微分方程.tanxyxyy解:,xyu令,uxuy则代入原方程得uuuxutan分离变量xxuuuddsincos两边积分xxuuuddsincos得,lnlnsinlnCxuxCusin即故原方程的通解为xCxysin(当C=0时,y=0也是方程的解)(C为任意常数)0C此处目录上页下页返回结束例2.解微分方程解:,2dd2xyxyxy方程变形为,xyu令则有22uuuxu分离变量xxuuudd2积分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原变量得通解即Cuux)1(yCxyx)(说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C为任意常数)求解过程中丢失了.目录上页下页返回结束x由光的反射定律:可得OMA=OAM=例3.探照灯的聚光镜面是一张旋转曲面,它的形状由解:将光源所在点取作坐标原点,并设入射角=反射角xycotxyy22yxOMTMAPy能的要求,在其旋转轴(x轴)上一点O处发出的一切光线，从而AO=OMOPAPxOy坐标面上的一条曲线L绕x轴旋转而成,按聚光性而AO于是得微分方程:xyy22yxyO经它反射后都与旋转轴平行.求曲线L的方程.目录上页下页返回结束,yxv令21ddvyvyyvyvyxddddCyvvlnln)1(ln2积分得故有1222CvyCy得)2(22CxCy(抛物线)221)(vvCy故反射镜面为旋转抛物面.于是方程化为(齐次方程)目录上页下页返回结束yxAO顶到底的距离为h,hdC82说明:)(222CxCy则将这时旋转曲面方程为hdxhdzy1642222hd若已知反射镜面的底面直径为d,代入通解表达式得)0,(2C作业目录上页下页返回结束(h,k为待*二、可化为齐次方程的方程)0(212cc,.111时当bbaa作变换kYyhXx,,dd,ddYyXx则原方程化为ckbha111ckbha令,解出h,k(齐次方程)定常数),目录上页下页返回结束求出其解后,即得原方程的解.,.211时当bbaa原方程可化为1)(ddcybxacybxaxy令,ybxavxybaxvdddd则1ddcvcvbaxv(可分离变量方程)注:上述方法可适用于下述更一般的方程)0(212cc目录上页下页返回结束例4.求解解:04kh令,5,1YyXxYXYXXYdd得再令Y＝Xu,得令06kh1,5hk得XXuuudd112积分得uarctan)1(ln221uXCln代回原变量,得原方程的通解:目录上页下页返回结束15arctanxy2151ln21xy)1(lnxC得C=1,故所求特解为思考:若方程改为如何求解?提示:目录上页下页返回结束作业P3091(1),(4),(6);2(2),(3);3;*4(4)第四节