《学案与测评》2011年高考数学总复习 第十二单元第一节 两个基本计数原理VIP专享VIP免费

第一节两个基本计数原理基础梳理1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，…,在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=种不同的方法.2.分步计数原理(乘法原理)完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=种不同的方法.12...nmmm12...nmmm典例分析题型一分类计数原理和分步计数原理的简单应用【例1】甲同学有若干本课外参考书，其中有5本不同的数学书，4本不同的物理书，3本不同的化学书.现在乙同学向甲同学借书,试问：（1）若借一本书，则有多少种不同的借法？（2）若每科各借一本，则有多少种不同的借法？（3）若借两本不同学科的书，则有多少种不同的借法？分析仔细区分是“分类”还是“分步”.解（1）因为需完成的事情是“借一本书”，所以借给他数学、物理、化学书中的任何一本，都可以完成这件事情.故用分类计数原理，共有5+4+3=12（种）不同的借法.（2）需完成的事情是“每科各借一本书”，意味着要借给乙三本书，只有从数学、物理、化学三科中各借一本，才能完成这件事情.故用分步计数原理，共有5×4×3=60（种）不同的借法.（3）需完成的事情是“从三种学科的书中借两本不同学科的书”，要分三种情况：①借一本数学书和一本物理书，只有两本书都借，事情才能完成，由分步计数原理知，有5×4=20（种）借法；②借一本数学书和一本化学书，同理，由分步计数原理知，有5×3=15（种）借法；③借一本物理书和一本化学书，同理，由分步计数原理知，有4×3=12（种)借法.而上述的每一种借法都可以独立完成这件事情，由分类计数原理知，共有20+15+12=47（种）不同的借法.学后反思正确区分和使用两个原理是学好本单元的关键.区分“分类”与“分步”的依据在于能否“一次性”完成.若能“一次性”完成，则不需“分步”，只需分类；否则就分步处理.举一反三1.（2009·通州调研）若5名运动员争取3个项目冠军，则不同的获奖结果有种.答案：125解析：从得冠军角度考虑，分三步，每个项目得冠军的结果有5种，共种.35题型二两个计数原理的综合应用【例2】(14分)现有高一四个班学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（3）推选两人作中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？分析（1）是从四个班的34人中选一人，应分类求解;（2）是从各班中选一人，共选4人，应分步求解；（3）是先根据不同班级分类，再分步从两个班级中各选1人.解（1）分四类，第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法，所以，共有不同的选法N=7+8+9+10=34(种).4′(2)分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法N=7×8×9×10=5040(种)…………………………………8′（3）分六类，每类又分两步，从一班、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法……………………….12′所以共有不同的选法N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431(种)………..14′学后反思对于复杂问题，不能只用分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决时，可以综合应用两个原理，可以先分类，在某一类中再分步，也可先分步，在某一步中再分类.举一反三2.某通信公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10000个号码.公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为.答案：5904解析...