高中数学 1.2.1几个常用函数的导数同步测试 新人教A版选修2-2VIP免费

【成才之路】-学年高中数学1.2.1几个常用函数的导数同步测试新人教A版选修2-2一、选择题1．若函数f(x)＝，则f′(1)等于()A．0B．－C．2D．[答案]D[解析]f′(x)＝()′＝，所以f′(1)＝＝，故应选D.2．抛物线y＝x2在点(2,1)处的切线方程是()A．x－y－1＝0B．x＋y－3＝0C．x－y＋1＝0D．x＋y－1＝0[答案]A[解析] f(x)＝x2，∴f′(2)＝x|x＝2＝1.∴切线方程为y－1＝x－2.即x－y－1＝0.3．已知f(x)＝x3，则f′(2)＝()A．0B．3x2C．8D．12[答案]D[解析]f′(2)＝lim＝lim＝lim((Δx)2＋6Δx＋12)＝12，故选D.4．已知f(x)＝xα，若f′(－1)＝－2，则α的值等于()A．2B．－2C．3D．－3[答案]A[解析]若α＝2，则f(x)＝x2，∴f′(x)＝2x，∴f′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A.5．一个物体的运动方程为s(t)＝1－t＋t2，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是()A．7米/秒B．6米/秒C．5米/秒D．8米/秒[答案]C[解析]v(t)＝s′(t)＝－1＋2t，∴v(3)＝－1＋2×3＝5(米/秒)，故选C.6．(·北京东城区联考)曲线y＝x3在x＝1处切线的倾斜角为()A．1B．－C．D．[答案]C[解析] y＝x3，∴y′|x＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tanα＝1， 0≤α<π，∴α＝.二、填空题7．已知①y＝f(x)，②y＝g(x)，③y＝h(x)都是路程y关于时间x的函数，且f′(x)＝1，g′(x)＝2，h′(x)＝3，则运动速度最快的是________(填序号)．[答案]③[解析]由导数的几何意义知，y＝f(x)的瞬时速度为1，y＝g(x)的瞬时速度为2，y＝h(x)的瞬时速度为3，且都是匀速运动，故最快的是③.8．若曲线y＝x3的某一切线与直线y＝12x＋6平行，则切点坐标是________．[答案](2,8)或(－2，－8)[解析]设切点坐标为(x0，x)，因为y′＝3x2，所以切线的斜率k＝3x，又切线与直线y＝12x＋6平行，所以3x＝12，解得x0＝±2，故切点为(2,8)或(－2，－8)．9．(·枣阳一中、襄州一中、宜城一中、曾都一中高二期中联考)若曲线y＝在点P(a，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是________．[答案]4[解析]y′＝，切线方程为y－＝(x－a)，令x＝0得，y＝，令y＝0得，x＝－a，由题意知··a＝2，∴a＝4.三、解答题10．求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．[解析]平移直线x－y－2＝0与抛物线y＝x2相切，设切点为P(x0，y0)，y′|x＝x0＝2x0＝1，∴x0＝，y0＝，由点到直线的距离公式，得最短距离d＝＝.一、选择题11．已知物体的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为()A．B．C．D．[答案]D[解析] s′＝2t－，∴s′|t＝2＝4－＝，故选D.12．(·山西省太原五中月考)已知曲线y＝x3－1与曲线y＝3－x2在x＝x0处的切线互相垂直，则x0的值为()A．B．C．D．[答案]D[解析]由导数的定义容易求得，曲线y＝x3－1在x＝x0处切线的斜率k1＝3x，曲线y＝3－x2在x＝x0处切线的斜率为k2＝－x0，由于两曲线在x＝x0处的切线互相垂直，∴3x·(－x0)＝－1，∴x0＝，故选D.13．曲线y＝上的点P(0,0)处的切线方程为()A．y＝－xB．x＝0C．y＝0D．不存在[答案]B[解析] y＝，∴Δy＝－＝＝，∴＝，∴y′＝lim＝.∴曲线在点P(0,0)处切线的斜率不存在，∴切线方程为x＝0.14．质点作直线运动的方程是s＝，则质点在t＝3时的速度是()A．B．C．D．[答案]A[解析]Δs＝－＝＝＝∴lim＝＝，∴s′(3)＝.故应选A.二、填空题15．在曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，当斜率最小时，切线方程为________．[答案]3x－y－11＝0[解析]设切点P(x0，y0)，则过P(x0，y0)的切线斜率为y′|x＝x0，它是x0的函数，求出其最小值．设切点为P(x0，y0)，过点P的切线斜率k＝y′|x＝x0＝3x＋6x0＋6＝3(x0＋1)2＋3.当x0＝－1时k有最小值3，此时P的坐标为(－1，－14)，其切线方程为3x－y－11＝0.16．函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是________．[答案]21[解析] y′＝2x，∴在点(ak，a)的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)，又该切线与x轴的交点为(ak＋1,0)，所以ak＋1＝ak，即数列{ak}是等比数列，首项a1＝16，其公比q＝，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.三、解答题17．...