高中数学复数讲义教师版VIP专享VIP免费

高中数学.复数Page1of16一、复数的概念1．虚数单位i:（1）它的平方等于1，即21i；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立．（3）i与－1的关系:i就是1的一个平方根，即方程21x的一个根，方程21x的另一个根是-i．（4）i的周期性：41nii，421ni，43nii，41ni．2．数系的扩充：复数(0)ii(0)i(0)i(0)ababbaabbaba实数纯虚数虚数非纯虚数3．复数的定义：形如i()ababR，的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示4．复数的代数形式:通常用字母z表示，即()zabiabR，，把复数表示成abi的形式，叫做复数的代数形式．5．复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数()abiabR，，当且仅当0b时，复数()abiabR，是实数a；当0b时，复数zabi叫做虚数；当0a且0b时，zbi叫做纯虚数；当且仅当0ab时，z就是实数0知识内容复数高中数学.复数Page2of166．复数集与其它数集之间的关系：NZQRC苘苘7．两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a，abd，，，c，dR，那么iiabcdac，bd二、复数的几何意义1．复平面、实轴、虚轴：复数i()zababR，与有序实数对ab，是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数i()zababR，可用点Zab，表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数．2．．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为00，，它所确定的复数是00i0z表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．3．复数zabi一一对应复平面内的点()Zab，这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法．三、复数的四则运算1．复数1z与2z的和的定义：12zziiabcdiacbd2．复数1z与2z的差的定义：12zziiabcdiacbd3．复数的加法运算满足交换律:1221zzzz4．复数的加法运算满足结合律:123123()()zzzzzz5．乘法运算规则：设1izab，2izcd(a、b、c、dR)是任意两个复数，那么它们的积12iiizzabcdacbdbcad其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i换成1，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数．6．乘法运算律：（1）123123zzzzzz（2）123123()()zzzzzz高中数学.复数Page3of16（3）1231213zzzzzzz7．复数除法定义：满足iiicdxyab的复数xyi(x、yR)叫复数abi除以复数cdi的商，记为：()abicdi或者abicdi8．除法运算规则：设复数iab(a、bR)，除以icd(c，dR)，其商为ixy（x、yR)，即(i)iiabcdxy xyicdicxdydxcyi∴iicxdydxcyab由复数相等定义可知cxdyadxcyb，解这个方程组，得2222acbdxcdbcadycd，于是有:(i)iabcd2222acbdbcadicdcd②利用22iicdcdcd于是将iiabcd的分母有理化得：原式22i(i)(i)[i(i)]()ii(i)(i)ababcdacbdbcadcdcdcdcd222222()()iiacbdbcadacbdbcadcdcdcd．∴((i)iabcd2222iacbdbcadcdcd点评:①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数icd与复数icd，相当于我们初中学习的32的对偶式32，它们之积为1是有理数，而22cdicdicd是正实数．所以可以分母实数化．把这种方法叫做分母实数化法．9．共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．高中数学.复数Page4of161．复数的概念【例1】已知2(1aibiii为虚数单位），那么实数a，b的值分别为（）A．2，5B．-3，1C．-1．1D．2，32【答案】D【例2】计算：0!1!2!100!i+i+i++iL（i表示虚数单位）【答案】952i【解析】 4i1，而4|!k（4k），故0!1!2!100!i+i+i++iii(1)(1)197952iL【例3】设22(253)(22)iztttt，tR，则下列命题中一定正确的是（）A．z的对应点Z在第一象限B．z的对应点Z在第四象限C．z不是纯虚数D．z是虚数【答案】D【解析】2222(1)10ttt．【例4】在下列命题中，正确命题的个数为（）①两个复数不能比较大小；②若22(1)(32)ixxx是纯虚数，则实数1x；③z是虚数的一个充要条件是zzR；④若ab，是两个相等的实数...