高中数学相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理同步指导练习新人教A版选修4_1VIP专享VIP免费

一平行线等分线段定理一、基础达标1.如图所示，已知BC＝acm，且AD∥EF∥BC，AE＝EO＝OC，则AD等于()A.acmB.2acmC.3acmD.3a2cm解析∵EF∥AD，AE＝EO，∴F是OD的中点，∴EF是△OAD的中位线，∴AD＝2EF，又∵EF∥BC，EO＝OC，∴△OEF≌△OCB，∴EF＝BC，∴AD＝2a.答案B2.如图所示，在△ABC中，BD为AC边上的中线，DE∥AB交BC于E，则阴影部分面积为△ABC面积的()A.14B.13C.15D.16解析∵DE∥AB，D为AC的中点，∴E为BC的中点，∴S△BDE＝S△EDC.∴S△BDE＝12S△BDC＝14S△ABC.答案A3.如图所示，若a∥b∥c，那么下列结论中错误的是()A.由AB＝BC可得FG＝GHB.由AB＝BC可得OB＝OGC.由CE＝2CD可得CA＝2BCD.由GH＝12FH可得CD＝DE解析∵OB，OG不是一条直线被一组平行线截得的线段，故不正确.答案B4.如图所示，在△ABC中，E为AB的中点，AH⊥BC于H，EF⊥BC于F，若HC＝14BH，则FC＝________BF.解析∵AH⊥BC，EF⊥BC，∴EF∥AH，又∵AE＝EB，∴BF＝FH，∴HC＝14BH＝12BF，∴FC＝FH＋HC＝32BF.答案325.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，M是AD的中点，延长CM，交AB于P，DN∥CP交AB于N，若AB＝6cm，则AP＝________；若PM＝1cm，则PC＝________.解析由AD⊥BC，AB＝AC知BD＝CD，又DN∥CP，∴BN＝NP.又AM＝MD，PM∥DN，知AP＝PN，∴AP＝13AB＝2(cm)，易知PM＝12DN，DN＝12PC，∴PC＝4PM＝4(cm).答案2cm4cm6.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，EF∥BC交AB于F.求证：AF＝BF.证明如图，延长AE交BC于M.∵CD是∠ACB的角平分线，AE⊥CD，可证△AEC≌MEC，∴AE＝EM，又在△ABM中，EF∥BF，∴点F是AB的中点，∴AF＝BF.二、能力提升7.如图，在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，点E，F分别是AD，AB的中点，且AC⊥BC，若AD＝5，EF＝6，则CF的长为()A.6.5B.6C.5D.4解析连接BD，∵点E，F分别是AD，AB的中点.∴EF綊12BD，又∵EF＝6，∴BD＝12，∵梯形ABCD是等腰梯形，∴AC＝BD＝12，BC＝AD＝5，又∵AC⊥BC，∴AB＝AC2＋BC2＝13，∵F是AB的中点，∴CF＝12AB＝132＝6.5.答案A8.某梯形的中位线长10cm，一条对角线将中位线分成的两部分之差是3cm，则该梯形中的较大的底边等于________cm.解析由已知中位线被BD分成的较长的一部分GF＝132，又∵EF∥BC，且F为DC的中点，∴G为BD的中点，∴在△DBC中，GF＝12BC，∴较大的底边BC长为13.答案139.如图所示，AD∥EG∥FH∥BC，E，F三等分AB，G，H在DC上，AD＝4，BC＝13，则EG＝________，FH＝________.解析由梯形中位线定理知：2EG＝AD＋FH，2FH＝EG＋BC，又由已知AD＝4，BC＝13，∴可解得EG＝7，FH＝10.答案71010.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，∠B＝60°，AB＝BC，E为AB的中点.求证：△ECD为等边三角形.证明如图，连接AC，过点E作EF平行于AD交DC于点F.∵AD∥BC，∴AD∥EF∥BC.又∵E是AB的中点，∴F是DC的中点(经过梯形一腰的中点与底边平行的直线平分另一腰).∵DC⊥BC，∴EF⊥DC.∴ED＝EC(线段垂直分线上的点到线段两端点的距离相等).∴△EDC为等腰三角形.∵AB＝BC，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形.∴∠ACB＝60°.又∵E是AB边的中点，∴CE平分∠ACB.∴∠FEC＝∠ECB＝30°.∴∠DEF＝30°.∴∠DEC＝60°.又∵ED＝EC，∴△ECD为等边三角形.11.如图所示，AE∥BF∥CG∥DH，AB＝12BC＝CD，AE＝12，DH＝16，AH交BF于M，求BM与CG的长.解如图所示，取BC的中点P，作PQ∥DH交EH于Q，则PQ是梯形ADHE的中位线.∵AE∥BF∥CG∥DH，AB＝12BC＝CD，AE＝12，DH＝16，∴ABAD＝14，BMDH＝ABAD，∴BM16＝14，∴BM＝4.由于PQ为梯形ADHE的中位线，故PQ＝12(AE＋DH)＝12(12＋16)＝14.同理，CG＝12(PQ＋DH)＝12(14＋16)＝15.三、探究与创新12.有人玩折纸游戏，他先把一张矩形纸ABCD按如图(1)所示对折，设折痕为MN.如图(2)所示，再沿AE折叠矩形一部分，使B落在折痕MN上，AE与MN交于P，得到Rt△ABE，延长EB交AD于F，得到△AEF，他认为△AEF是一个等边三角形，他的观点是否正确？试说明理由.解他的观点是正确的.理由如下：由题意和题中图示可知N是梯形ADCE的腰CD的中点，NP∥AD，∴P为EA的中点.又∵△ABE为直角三角形，∴BP＝PA，∴∠PAB＝∠PBA.又∵PB∥AD，∴∠PBA＝∠BAF，∴∠PAB＝∠BAF.∵∠PAB与和它重合的角相等，∴2∠PAB＋∠BAF＝90°，即∠PAB＝∠BAF＝30°.∴∠AEB＝90°－30°＝60°，∠EAF＝∠PAB＋∠BAF＝60°.∴△AEF是等边三角形.