1/24第2节用样本估计总体考试要求1.了解分布的意义和作用，能根据频率分布表画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图，体会它们各自的特点；2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差；3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释；4.会用样本的频率分布估计总体的频率分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想；5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.知识梳理1.频率分布直方图(1)频率分布表的画法：第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝极差组数；第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表.(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图(如图)横轴表示样本数据，纵轴表示频率组距，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率.2.频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度2/24曲线.3.茎叶图统计中一种被用来表示数据的图叫做茎叶图，茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数.4.样本的数字特征(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数.(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数.(3)平均数：把a1＋a2＋⋯＋ann称为a1，a2，⋯，an这n个数的平均数.(4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，⋯，xn的平均数为x－，则这组数据的标准差和方差分别是s＝1n[（x1－x－）2＋（x2－x－）2＋⋯＋（xn－x－）2]，s2＝1n[(x1－x－)2＋(x2－x－)2＋⋯＋(xn－x－)2].[常用结论与微点提醒]1.频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数.(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的.(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.2.平均数、方差的公式推广(1)若数据x1，x2，⋯，xn的平均数为x－，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，⋯，mxn＋a的平均数是mx－＋a.(2)数据x1，x2，⋯，xn的方差为s2.①数据x1＋a，x2＋a，⋯，xn＋a的方差也为s2；②数据ax1，ax2，⋯，axn的方差为a2s2.诊断自测3/241.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.()(2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中.()(3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越大.()(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次.()解析(1)正确.平均数、众数与中位数都在一定程度上反映了数据的集中趋势.(2)错误.方差越大，这组数据越离散.(3)正确.小矩形的面积＝组距×频率组距＝频率.(4)错误.茎相同的数据，相同的数据叶要重复记录，故(4)错误.答案(1)√(2)×(3)√(4)×2.(老教材必修3P100T2(1)改编)一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.25，则该组样本的频数为()A.4B.8C.12D.16解析设频数为n，则n32＝0.25，∴n＝32×14＝8.答案B3.(老教材必修3P70示例改编)若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是()4/24A.91.5和91.5B.91.5和92C.91和91.5D.92和92解析这组数据由小到大排列为87，89，90，91，92，93，94，96，∴中位数是91＋922＝91.5，平均数x－＝87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋968＝91.5.答案A4.(一题多解)(2019·全国Ⅲ卷)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《...
