大题精做8立体几何：动点与设未知量[2019·遵义航天中学]如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，60ABC，PAB△为正三角形，且侧面PAB底面ABCD，E为线段AB的中点，M在线段PD上．（1）当M是线段PD的中点时，求证：PB∥平面ACM；（2）是否存在点M，使二面角MECD的大小为60，若存在，求出PMPD的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）存在13PMPD．【解析】（1）证明：连接BD交AC于H点，连接MH， 四边形ABCD是菱形，∴点H为BD的中点，又 M为PD的中点，∴MHBP∥，又 BP平面ACM，MH平面ACM，∴PB∥平面ACM．（2） ABCD是菱形，60ABC，E是AB的中点，∴CEAB，又 PE平面ABCD，以E为原点，分别以EB，EC，EP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Exyz，则0,0,0E，1,0,0B，0,0,3P，0,3,0C，2,3,0D．假设棱PD上存在点M，设点M坐标为,,xyz，01PMPDuuuuruuur，则,,32,3,3xyz，∴2,3,31M，∴2,3,31EMuuuur，0,3,0ECuuur，设平面CEM的法向量为,,xyzn，则2331030EMxyzECyuuuuruuurnn，解得0231yxz．令2z，则31x，得31,0,2n． PE平面ABCD，∴平面ABCD的法向量0,0,1m，∴22222cos,763431nmnmnm， 二面角MECD的大小为60，∴2212763，即23210，解得13，或1（舍去）∴在棱PD上存在点M，当13PMPD时，二面角MECD的大小为60．1．[2019·跃华中学]如图所示，正四棱椎PABCD中，底面ABCD的边长为2，侧棱长为22．（1）若点E为PD上的点，且PB∥平面EAC，试确定E点的位置；（2）在（1）的条件下，点F为线段PA上的一点且PFPAuuuruuur，若平面AEC和平面BDF所成的锐二面角的余弦值为114，求实数的值．2．[2019·湖北联考]如图，在四棱锥PABCD中，ABPC，ADBC∥，ADCD，且2222PCBCADCD，2PA．（1）证明：PA平面ABCD；（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角MACD的大小为60？如果存在，求PMPD的值；如果不存在，请说明理由．3．[2019·西城44中]如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，135BCD，侧面PAB底面ABCD，90BAP，2ABACPA，E，F分别为BC，AD的中点，点M在线段PD上．（1）求证：EF平面PAC；（2）若M为PD的中点，求证：ME∥平面PAB；（3）如果直线ME与平面PBC所成的角和直线ME与平面ABCD所在的角相等，求PMPD的值．1．【答案】（1）E为PD中点；（2）15．【解析】（1）设BD交AC于点O，连结OE， PB∥平面AEC，平面AECI平面BDPOE，∴PBOE∥，又O为BD的中点，∴在BDP△中，E为PD中点．（2）连结OP，由题意得PO平面ABCD，且ACBD，∴以O为原点，OC、OD、OP所成直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，226OPPDOD，∴2,0,0A，0,2,0B，2,0,0C，0,2,0D，0,0,6P，则260,,22E，2,0,0OCuuur，262,,22CEuuur，0,2,0ODuuur，设平面AEC的法向量,,xyzm，则20262022OCxCExyzuuuruuurmm，令1z，得平面AEC的一个法向量0,3,1m，设平面BDF的法向量,,xyzn，由PFPAuuuruuur，得2,0,66F，2,2,66DFuuur，∴2266020DFxyzODyuuuruuurnn，令1z，得31,0,1n， 平面AEC和平面BDF所成的锐二面角的余弦值为114，∴211cos,1412131mnnmmn，解得15．2．【答案】（1）见证明；（2）见解析．【解析】（1） 在底面ABCD中，ADBC∥，ADCD，且2222BCADCD，∴2ABAC，22BC，∴ABAC，又 ABPC，ACPCCI，AC平面PAC，PC平面PAC，∴AB平面PAC，又 PA平面PAC，∴ABPA， 2PAAC，22PC，∴PAAC，又 PAAB，ABACAI，AB平面ABCD，AC平面ABCD，∴PA平面ABCD．（2）方法一：在线段AD上取点N，使2ANND，则MNPA∥，又由（1）得PA平面ABCD，∴MN平面ABCD，又 AC平面ABCD，∴MNAC，作NOAC于O，又 MNNONI，MN平面MNO，NO平面MNO，∴AC平面MNO，又 MO平面MNO，∴ACMO，又 ACNO，∴MON是二面角MACD的一个平面角，设PMxPD，则122MNxAPx，2222ONANxADx，这样，二面角MACD的大小为60，即22tantan603MNxMONONx，即423PMxPD，∴满足要求的点M存在，且423PMPD．方法二：取BC的中点E，则AE、AD、AP三条直线两两垂直∴可以分别以直线AE、AD、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系，且由（1）知0,0,2APuuur是平面ACD的一个法向量，设0,1PMxPD，则122MNxAPx，2ANxADx，∴0,2,22AMxxuuuur，2,2,0ACuuur，设,,AQabcuuur是平面ACM的一个法向量，则2220220A...
