第五节综合法、分析法、反证法、数学归纳法[最新考纲]1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点.2.了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程和特点.3.了解数学归纳法的原理.4.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．1．综合法、分析法内容综合法分析法定义从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．我们把这样的思维方法称为综合法从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．我们把这样的思维方法称为分析法实质由因导果执果索因框图表示P?Q1→Q1?Q2→⋯→Qn?QQ?P1→P1?P2→⋯→得到一个明显成立的条件文字语言因为⋯⋯所以⋯⋯或由⋯⋯得⋯⋯要证⋯⋯只需证⋯⋯即证⋯⋯2．反证法(1)反证法的定义：在假定命题结论的反面成立的前提下，经过推理，若推出的结果与定义、公理、定理矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题结论成立的方法叫反证法．(2)反证法的证题步骤：①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论．3．数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)归纳奠基：证明当n取第一个值n0(n0∈N＋)时命题成立；(2)归纳递推：假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．()(2)综合法是直接证明，分析法是间接证明．()(3)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．()(4)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“aQB．P＝QC．PQ，只需P2>Q2，即2a＋13＋2a＋6a＋7>2a＋13＋2a＋8a＋5，只需a2＋13a＋42>a2＋13a＋40.因为42>40成立，所以P>Q成立．故选A.]4．已知数列{an}满足an＋1＝a2n－nan＋1，n∈N＋，且a1＝2，则a2＝________，a3＝________，a4＝________，猜想an＝________.345n＋1[易得a2＝3，a3＝4，a4＝5，故猜想an＝n＋1.]考点1综合法的应用掌握综合法证明问题的思路综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：(1)ab＋bc＋ac≤13；(2)a2b＋b2c＋c2a≥1.[证明](1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤13.(2)因为a，b，c均为正数，a2b＋b≥2a，b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c，故a2b＋b2c＋c2a＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，即a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c，所以a2b＋b2c＋c2a≥1.[母题探究]本例的条件不变，证明a2＋b2＋c2≥13.[证明]因为a＋b＋c＝1，所以1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，因为2ab≤a2＋b2,2bc≤b2＋c2,2ac≤a2＋c2，所以2ab＋2bc＋2ac≤2(a2＋b2＋c2)，所以1≤a2＋b2＋c2＋2(a2＋b2＋c2)，即a2＋b2＋c2≥13.(1)不等式的证明常借助基本不等式，注意其使用的前提...
