1/5专题58复数（知识梳理）一、复数的概念1、虚数单位i：(1)它的平方等于1，即12i；(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立；(3)i与1的关系：i就是1的一个平方根，即方程12x的一个根，方程12x的另一个根是i；(4)i的周期性：iin14、124ni、iin34、14ni。2、数系的扩充：复数)0()0()0()0(abiaabibbiababia非纯虚数纯虚数虚数实数。3、复数的定义：形如bia(Rba、)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部。全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示。4、复数的代数形式：通常用字母z表示，即biaz(Rba、)，把复数表示成bia的形式，叫做复数的代数形式。5、复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数bia(Rba、)，当且仅当0b时，复数bia(Rba、)是实数a，当0b时，复数biaz叫做虚数，当0a且0b时，biz叫做纯虚数，当且仅当0ba时，z就是实数0。6、复数集与其它数集之间的关系：NZQRC。7、两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等。这就是说，如果a、b、c、Rd，那么dicbiaca、db。例1-1．设i为虚数单位，则下列命题成立的是()。A、Ra，复数ia3是纯虚数B、在复平面内)2(ii对应的点位于第三象限C、若复数iz21，则存在复数1z，使得Rzz1D、Rx，方程02ixx无解【答案】C【解析】A选项，只有当3a时，复数ia3是纯虚数，错，B选项，12)2(iii，对应的点位于第一象限，错，2/5C选项，若复数iz21，则存在复数iz211，使得Rzz1，对，D选项，0x，方程02ixx成立，错，∴C正确。例1-2．若复数2)1(iiz(i为虚数单位)，则||z()。A、21B、22C、1D、2【答案】A【解析】iiiiz2121)1(2，∴21|21|||iz，故选A。例1-3．已知Ra，i为虚数单位，若iia1为纯虚数，则a的值为。【答案】1【解析】由题意得2)1()1)(1()1)((1iaiaiiiiaiia， iia1为纯虚数，∴0101aa，解得1a。二、复数的几何意义1、复平面、实轴、虚轴：复数biaz(Rba、)与有序实数对)(ba，是一一对应关系。建立一一对应的关系。点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数biaz(Rba、)可用点)(baZ，表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数。对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为)00(，，它所确定的复数是000iz表示是实数。除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。2、复数biaz一一对应复平面内的点)(baZ，。这就是复数的一种几何意义。也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法。3、复数的模：复数biaz(Rba、)的模就是其在复平面内的点)(baZ，到原点)00(，的距离。22||baz。3/54、共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。复数biaz(Rba、)的共轭复数为biaz(Rba、)。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。例2-1．复数iiz21在复平面内对应的点位于()。A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【答案】B【解析】iiiiz21212121，在复平面对应的点的坐标为)2121(，，位于第二象限，故选B。例2-2．设复数z满足iiz21，则复数z的共轭复数z在复平面内对应的点位于()。A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【答案】A【解析】由iiz21得iiiiiiz2)()21(212，∴iz2，∴z在复平面内对应的点的坐标为)12(，，位于第一象限，故选A。例2-3．设复数iz21(i是虚数单位)，则在复平面内，复数2z对应的点的坐标为()。A、)23(，B、)43(，C、)43(，D、)45(，【答案】B【解析】 iz21，∴iiiz43441)21(22，∴复数2z对应的点为)43(，，故选B。三、复数的四则运算4/5设biaz1、dicz1(a、b、c、Rd)是任意两个复数：1、复数1z与2z的和的定义：idbcadicbiazz)()()()(21。(1)复数的加法运算满足交换律：1221zzzz。(2)复数的加法运算满足结合律：)()(321321zzzzzz。2、复数1z与2z的差的定义：idbcadicbiazz)()()()(21。3、乘法运算规则：iadbcbdacdicbiazz)()()()(21，其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i换成1，并且把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。乘法运算律：(1))()(321321zzzzzz；(2)3121321)(zzzzzzz。4、...
