数学新课标（HS）数学·九年级下册27.2与圆有关的位置关系探究新知探究新知新知梳理新知梳理重难互动探究重难互动探究3.切线第1课时切线27.2与圆有关的位置关系探究新知活动1知识准备在△ABC中，AB＝5cm，AC＝4cm，BC＝3cm，如果以点C为圆心，2cm长为半径作圆，则⊙C与AB________．如果以点C为圆心，3cm长为半径作圆，则⊙C与AB________．若使⊙C与AB相切，则⊙C的半径应该为__________．相离相交2.4cm27.2与圆有关的位置关系活动2教材导学1．切线的判定方法探索切线的判定方法：(1)如图27－2－27，已知⊙O及其半径OA，经过点A画一条直线l垂直于半径OA，此时l与⊙O有几个公共点？图27－2－2727.2与圆有关的位置关系[答案]如图27－2－28，l与⊙O有一个公共点．图27－2－2827.2与圆有关的位置关系(2)在直线l上任取一点P(A除外)，OP与OA的大小关系是：OP______OA.说明直线l与⊙O仅有一个公共点，所以直线l是⊙O的________．结论：经过半径的________且________于这条半径的直线是圆的切线．＞切线外端垂直链接知识——[新知梳理]知识点一27.2与圆有关的位置关系2．切线的性质如图27－2－29所示，OA是⊙O的半径，过点A作AT⊥OA.(1)如果过点O作直线OB，使OB⊥AT，则直线OB过______；(2)如果过点A作直线AB，使AB⊥AT，则直线AB过______；(3)如果过点A和点O作直线，则直线AO⊥______．图27－2－29链接知识——[新知梳理]知识点二点A点OAT新知梳理27.2与圆有关的位置关系知识点一切线的判定经过半径的外端且__________________的直线是圆的切线．垂直于这条半径27.2与圆有关的位置关系知识点二切线的性质定理定理：圆的切线________于经过切点的半径．推论1：经过切点且垂直于圆的切线的直线必经过圆心．推论2：经过圆心且垂直于圆的切线的直线必经过切点．垂直重难互动探究27.2与圆有关的位置关系探究问题一应用切线的判定定理进行切线的判定例1[例题变式]如图27－2－30所示，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，∠DAB＝∠B＝30°.(1)直线BD是否与⊙O相切？为什么？(2)连结CD，若CD＝5，求AB的长．图27－2－3027.2与圆有关的位置关系[解析](1)连结OD，因为OA＝OD，所以∠ODA＝∠A＝30°.又因为∠ADB＝180°－∠A－∠B＝120°，所以∠ODB＝90°，即BD是⊙O的切线．(2)思路一：因为AC是⊙O的直径，所以∠ADC＝90°.由于∠A＝30°，利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得AC＝2CD＝10，∠CDB＝∠ADB－∠ADC＝30°＝∠B，所以BC＝CD＝5，所以AB＝AC＋BC＝15.思路二：因为AC是⊙O的直径，所以∠ADC＝90°.由∠A＝30°，求出∠DOC＝60°，进一步得到△ODC是等边三角形，然后把AB分成两条线段OA与OB的和来求，具体类似思路一．27.2与圆有关的位置关系解：(1)直线BD与⊙O相切．理由如下：如图27－2－31，连结OD.∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠A＝30°.又∵∠ADB＝180°－∠A－∠B＝120°，∴∠ODB＝120°－∠ODA＝120°－30°＝90°，即OD⊥BD，∴直线BD与⊙O相切．图27－2－3127.2与圆有关的位置关系(2)由(1)知∠ODA＝∠DAB＝30°，∴∠DOB＝∠ODA＋∠DAB＝60°.又∵OC＝OD，∴△DOC是等边三角形，∴OA＝OD＝CD＝5.又∵∠B＝30°，∠ODB＝90°，∴OB＝2OD＝10，∴AB＝OA＋OB＝5＋10＝15.[归纳总结]证明切线的方法：①经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；②如果圆心到直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线．27.2与圆有关的位置关系探究问题二切线的性质与判定的综合运用例2[例题拓展]如图27－2－32所示，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC∥AD.求证：DC是⊙O的切线．图27－2－32[解析]欲证明直线DC与⊙O相切，可连结OD，证明DC与OD垂直即可．27.2与圆有关的位置关系证明：连结OD，∵OA＝OD，∴∠1＝∠2.∵AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4，∴∠3＝∠4.在△OBC和△ODC中，∵∠3＝∠4，OB＝OD，OC＝OC，∴△OBC≌△ODC，∴∠OBC＝∠ODC.∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°(圆的切线垂直于过切点的半径)，∴∠ODC＝90°，∴DC是⊙O的切线(经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线)．27.2与圆有关的位置关系[归纳总结]当要证明的直线与圆有公共点时，连结圆心与公共点，证明此半径与直线垂直，利用“经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”可证明此直线是圆的切线．
