《学案与测评》2011年高考数学总复习 第十二单元第三节 二项式定理VIP专享VIP免费

排列、组合、二项式定理两个计数原理二项式定理排列组合排列概念排列数式组合概念组合数公式组合数性质应用通项公式二项式系数性质应用应用第十二单元计数原理知识体系第三节二项式定理(*)基础梳理011......nnrnrrnnnnnnCaCabCabCb11......rrnnnCxCxxrnrrnCab0122......nrnnnnnnCCCCC1nxnab1.二项式定理及其特例(1)=;(2)=.特别是当x=1时，得.2.二项展开式的通项公式=(r=0,1,2,…,n).3.二项式系数表（杨辉三角）展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3,…时，二项式系数表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于.1rTnab它肩上两个数的和4.二项式系数的性质(1);(2);(3)当时,;当时，;(4).01,,...,nnnnCCCmnmnnCC11mmmnnnCCC12nr1rrnnCC12nr1rrnnCC012...2nnnnnnCCCC典例分析解展开式通项.由题意得(r=0,1,2,…,n),故当r=2时，正整数的最小值为5.225132332rnrnrrrnrnrrnnTCxCxx52502nrnr题型一求二项式中的n【例1】如果的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为.分析根据展开式中含有非零常数项，求得n,r之间的关系，从而求出n.2323nxxnab学后反思常数项即变量的指数为0，有理项即变量的指数为整数，这都是列方程的依据，根据方程求得关系，再解题.答案：3举一反三1.（2009·济南模拟）若二项式的展开式中存在常数项，则正整数n的最小值等于.1nxx解析：二项展开式的通项公式为由二项展开式中存在常数项，可令n-3r=0, n∈N*,r∈N*,且r≤n,则使得n-3r=0的正整数n的最小值为3.3211nrnrrrrrrnnCxxCx题型二求项的系数【例2】展开式中的系数为.34121xx2x分析利用通项公式分别写出常数项、含x,项，从而求出系数.2x解 展开式中项为∴所求系数为34121xx0302221211312220403434341(2)1()1(2)1()1(2)1()CxCxCxCxCxCx0211220343434212624126CCCCCC2x学后反思此题重点考查二项展开式中指定项的系数，以及组合思想；展开式中的常数项、一次项、二次项分别和展开式中的二次项、一次项、常数项相乘再求和得整个展开式中的二次项.要注意二项展开式中某项的系数与该项的二项式系数是不同的概念，其项的系数是指该单项式的系数，而二项式系数仅为Crn,这点要注意区分.312x41x举一反三2.（2008·天津）的二项展开式中，x2的系数是（用数字作答）.52xx答案：40解析：，令,解得r=2.系数为355215522rrrrrrrTCxCxx352r25240rC题型三求展开式中的特定项【例3】(14分)在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.（1）求展开式的第四项；（2）求展开式的常数项；（3）求展开式的各项系数的和.3312nxx分析根据前三项系数的绝对值成等差数列，列出关于n的方程，求出n.解第一项系数的绝对值为，第二项系数的绝对值为，第三项系数的绝对值为，依题意有，解得n=8…………………………………………..2′（1）第四项……………………..4′（2）通项公式为……………..6′展开式的常数项有8-2r=0，即r=4，所以常数项为……………………………10′（3）令x=1，得展开式的各项系数的和为…………………………………..14′0nC12nC24nC210242nnnCCC325333483172TCxxx8823318831122rrrrrrrTCxCxx445813528TC88111122256学后反思本题旨在训练二项式定理通项公式的运用，但要注意通项而不是，这是最容易出错的地方.1rTrT答案：-20举一反三3.(2009·四川)的展开式的常数项是(用数字作答).6122xx解析：由题意知2x-12x6的通项为,令6-2r=0,得r=3,故常数项为.62621612rrrrrTCx336120C分析将已知式子适当整理化简，再根据题目要求选择合适的二项展开式求解.题型四整除问题...