一、知识回顾1、弦是连接________________的线段.2、经过圆心的______叫做直径.圆上任意两点弦24.1.2垂直于弦的直径———（垂径定理）实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．●O如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？·OABCDE思考（1）是轴对称图形．直径CD所在的直线是它的对称轴（2）线段：AE=BE⌒⌒弧：ＡＣ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＢＤ⌒⌒直径ＣＤ平分弦ＡＢ，并且平分ＡＢ及ＡＣＢ⌒⌒·OABCDE即ＡＥ＝ＢＥＡＤ＝ＢＤ，ＡＣ＝ＢＣ⌒⌒⌒⌒CD为⊙O的直径CDAB⊥条件结论⌒⌒⌒⌒AE=BEAE=BEAC=BCAC=BCAD=BDAD=BD·OOAABBCCDDEE垂径定理垂径定理：：垂直于弦的直径平分垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．弦，并且平分弦所对的两条弧．推论推论：平分弦（：平分弦（不是直径不是直径）的直径垂）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．直于弦，并且平分弦所对的两条弧．由①由①CDCD是直径是直径②②CD⊥ABCD⊥AB可推得可推得③③AE=BEAE=BE⌒⌒⌒⌒④④AC=BCAC=BC⌒⌒⌒⌒⑤⑤AD=BDAD=BD③③AE=BEAE=BE由①由①CDCD是直径是直径可推得可推得②②CD⊥ABCD⊥AB⌒⌒⌒⌒⑤⑤AD=BDAD=BD⌒⌒⌒⌒④④AC=BCAC=BC学科网EDCOABOBCADDOBCAOBACDOBAC∵∵OEABOEAB1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE解：222AOOEAE2222=3+4=5cmAOOEAE答：⊙O的半径为5cm.活动三118422AEAB在RtAOE△中讲解垂径定理的应用弦心距：过一个圆的圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间的距离叫做弦心距OBAC2222adr如图：圆O中，AB是圆O中的一条弦，其中OCAB⊥圆心到弦的距离用d表示，半径用r表示,弦长用a表示，则d，r，a之间满足什么样的关系呢？ODCBAM2.2.如图，在⊙如图，在⊙OO中，中，CDCD是直径，是直径，ABAB是弦，且是弦，且CDAB⊥CDAB⊥，，已知已知CD=20CD=20，，CM=4CM=4，求，求ABAB、、OMOM的长的长..解：连接OA在⊙O中，直径CD⊥弦AB∴AB=2AM△OMA是直角三角形∵CD=20∴AO=CO=10∴OM=OC–CM=10–4=6在RtOMA△中，AO=10，OM=6根据勾股定理，得：222AMOMAO∴86102222OMAOAM∴AB=2AM=2x8=161.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.你认为AC和BD有什么关系？为什么？证明：过O作OEAB⊥，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE即AC＝BD.ACDBOE方法归纳:解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.垂径定理经常和勾股定理结合使用.E.ACDBO.ABO∵AG=BG⌒⌒CG=DG⌒⌒∴AG-CG=BG-DG⌒⌒⌒⌒即AC=BD⌒⌒ABCDOGabcd∵a=b，c=d∴a–c=b-d线段加减圆弧加减1、如图，AB、CD都是⊙O的弦，且ABCD.∥求证：AC=BD.⌒⌒ABCDOFE解：过点O作OECD⊥，交CD于点E在⊙O中，OF⊥弦ABG交⊙O于点G交AB于点F，∴AG=BG⌒⌒∵OE⊥弦CD∴CG=DG⌒⌒∴AG-CG=BG-DG⌒⌒⌒⌒即AC=BD⌒⌒2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．D·OABCE证明：OEACODABABAC909090OEAEADODA∴四边形ADOE为矩形，又∵AC=AB1122AEACADAB，∴AE=AD∴四边形ADOE为正方形.∵四、归纳小结1、圆是_____图形,_____________所在的直线都是它的对称轴.2、垂径定理:_______________平分弦，并且平分弦__________.推论：平分弦（不是_____）的直径_______弦，并且_______弦所对的两条弧.3、学习反思：______________________________________________轴对称任何一条直径垂直于弦的直径所对的两弧直径垂直于平分●OABCD(1)两条弦在圆心的同侧●OABCD(2)两条弦在圆心的两侧1、⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB=16，CD=12，则AB、CD间的距离是___.2cm或14cm
