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高中数学 2.4.2抛物线的几何性质(一)同步训练 新人教B版选修2-1VIP免费

高中数学 2.4.2抛物线的几何性质(一)同步训练 新人教B版选修2-1_第1页
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2.4.2抛物线的几何性质(一)一、基础过关1.设点A为抛物线y2=4x上一点,点B(1,0),且|AB|=1,则A的横坐标的值为()A.-2B.0C.-2或0D.-2或22.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与x轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为()A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=8x或y2=-8xD.x2=8y或x2=-8y3.经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作一直线交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,则的值是()A.4B.-4C.p2D.-p24.等腰Rt△ABO内接于抛物线y2=2px(p>0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,则Rt△ABO的面积是()A.8p2B.4p2C.2p2D.p25.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2).若x1+x2=6,则|AB|=________.二、能力提升6.过抛物线y2=2px的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点,若A、B在准线上的射影为A1、B1,则∠A1FB1等于()A.45°B.90°C.60°D.120°7.如图所示,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B,交其准线于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为()A.y2=xB.y2=3xC.y2=xD.y2=9x8.如图所示是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2m,水面宽4m.水位下降1m后,水面宽________m.9.已知△ABC的三个顶点都在y2=32x上,A(2,8),且这个三角形的重心与抛物线的焦点重合,则直线BC的斜率是________.10.线段AB过x轴正半轴上一定点M(m,0),端点A、B到x轴的距离之积为2m,以x轴为对称轴,过A、O、B三点作抛物线.求抛物线的方程.11.已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交的公共弦长等于2,求这条抛物线的方程.12.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10),直线AB的方程为x=ky+m,由消去x,整理得y2-2pky-2pm=0,由根与系数的关系得y1y2=-2pm,由已知条件知|y1|·|y2|=2m,从而p=1,故抛物线方程为y2=2x.11.解设所求抛物线方程为y2=2px或y2=-2px(p>0),设交点A(x1,y1)、B(x2,y2)(y1>0,y2<0),则|y1|+|y2|=2,即y1-y2=2,由对称性知:y2=-y1,代入上式得y1=,把y1=代入x2+y2=4,得x=±1.∴点C(1,)在抛物线y2=2px上,点C′(-1,)在抛物线y2=-2px上,将C、C′代入相应的抛物线方程得3=2p或3=-2p×(-1).∴p=,所求抛物线方程为y2=3x或y2=-3x.12.解(1)直线AB的方程是y=2,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=,由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9,所以p=4,抛物线方程为y2=8x.(2)由p=4,4x2-5px+p2=0,化简得x2-5x+4=0,从而x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4,从而A(1,-2),B(4,4).设OC=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(1+4λ,-2+4λ),又y=8x3,即[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.13.解(1)依题意知动点P到定点F(1,0)的距离与到定直线x=-1的距离相等,由抛物线的定义可知动点P的轨迹方程是y2=4x.(2)设A,B,∵S△AOB=|OA||OB|sin∠AOB,又S△AOB=m·tan∠AOB,∴|OA||OB|sin∠AOB=m·tan∠AOB,∴m=|OA||OB|cos∠AOB=OA·OB==(y1y2+8)2-2,∴mmin=-2,此时y1y2=-8.

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