等差数列的前等差数列的前nn项和项和((二二))罗田县第一中学邓筱娅新课感知中国古代南北朝的张丘建在《张丘建算经》中提到了等差数列:今有女子不善织布,逐日所织的布以同数递减,初日织五尺,末日织一尺,计织三十日,问共织几何?这个问题如何解决?自学探究►知识点一等差数列前n项和公式与二次函数的关系1.公式Sn=na1+n(n-1)d2可化成关于n的解析式:Sn=____________.当d≠0时,Sn是一个常数项为零的二次式,即点(n,Sn)在其相应的________函数的图像上,这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数.这便给出了一种判断数列是否为等差数列的方法.d2n2+a1-d2n二次2.一般地,若数列{an}的前n项和公式为Sn=pn2+qn+r,则当r=0时,数列{an}是一个以p+q为首项,______为公差的等差数列,当r≠0时,数列的通项公式为an=__________________,即数列{an}不是等差数列,但是从第二项起构成了以________为首项,以________为公差的等差数列.2p3p+q2p►知识点二等差数列前n项和Sn的最值1.根据单调性求最值由二次函数的性质知:(1)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负项(或0),等差数列{an}的前n项和Sn有最________值;(2)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正项(或0),等差数列{an}的前n项和Sn有最________值.大小2.求最值的主要方法(1)利用an的符号:当a1>0,d<0时,可由an≥0且an+1≤0,求得n的值;当a1<0,d>0时,可由an≤0且an+1≥0,求得n的值.(2)由Sn=d2n2+a1-d2n,利用二次函数的配方法求得最值及取得最值时n的值.说明:等差数列前n项和不仅给出了一种判断数列是否为等差数列的方法,同时也告诉我们可以借助于二次函数的图像和性质(主要指单调性和最值)来研究与等差数列前n项和有关的问题.►知识点二等差数列前n项和的性质性质1:若数列an是等差数列,Sn是其前n项的和,k∈N*,那么____,________,________成等差数列.如图2-3-1所示.SkS3k-S2kS2k-Sk性质2:奇数项和与偶数项和的关系设数列an是公差为d的等差数列,S奇是奇数项的和,S偶是偶数项的和,d为公差,等差数列的中间一项记为a中,则前n项和Sn=S奇+S偶,有如下性质:①当n为偶数时,S偶-S奇=______;②当n为奇数时,则S奇-S偶=____,S奇=________,S偶=________,S奇S偶=________,SnS奇-S偶=S奇+S偶S奇-S偶=______.n+12a中a中nn-12a中n+1n-1nn2d性质3:前n项和Sn与an通项的关系若等差数列{an}的前2n-1项的和为S2n-1,等差数列{bn}的前2n-1项的和为S′2n-1,则anbn=________.S2n-1S′2n-1典例类析►题组一等差数列的前n项和的最值【例题演练】例在等差数列{an}中,若a1=25,且S9=S17,则Sn的最大值为()A.150B.210C.169D.171[解析]解答本题可先根据条件求出公差d,然后利用Sn或an求Sn的最大值.解法一: S9=S17,a1=25,∴9×25+99-12d=17×25+1717-12d,解得d=-2.∴Sn=25n+nn-12×(-2)=-n2+26n=-(n-13)2+169.∴当n=13时,Sn有最大值169.[答案]C解法二:同解法一,求出公差d=-2.∴an=25+(n-1)×(-2)=-2n+27. a1=25>0,由an=-2n+27≥0,an+1=-2n+1+27≤0,得n≤1312,n≥1212.∴当n=13时,Sn有最大值169.[点评]解法一利用Sn是n的二次函数关系,归纳为求二次函数的最值问题,不过要注意自变量n是正整数;解法二是从研究数列的单调性及项的正负,进而研究前n项和Sn的最大值.【变式巩固】已知等差数列{an}的通项公式为an=24-3n,则该数列前多少项和最大?解:由an=24-3n知当n≤8时,an≥0,当n≥9时,an<0,故前8项或前7项的和取最大值.►题组二等差数列的前n项和性质的应用【例题演练】例1[2013·苏锡常镇调研]两个等差数列的前n项和之比为5n+102n-1,则它们的第7项之比为________.[答案]3∶1[解析]设两个数列{an},{bn}的前n项和为Sn,Tn,则SnTn=5n+102n-1,而a7b7=a1+a13b1+b13=S13T13=5×13+102×13-1=31.•例2一个等差数列的前12项之和为354,前12项中偶数项与奇数项之和的比为3227...