等差数列的前等差数列的前nn项和项和((二二))罗田县第一中学邓筱娅新课感知中国古代南北朝的张丘建在《张丘建算经》中提到了等差数列：今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末日织一尺，计织三十日，问共织几何？这个问题如何解决？自学探究►知识点一等差数列前n项和公式与二次函数的关系1．公式Sn＝na1＋n（n－1）d2可化成关于n的解析式：Sn＝____________．当d≠0时，Sn是一个常数项为零的二次式，即点(n，Sn)在其相应的________函数的图像上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数．这便给出了一种判断数列是否为等差数列的方法．d2n2＋a1－d2n二次2．一般地，若数列{an}的前n项和公式为Sn＝pn2＋qn＋r，则当r＝0时，数列{an}是一个以p＋q为首项，______为公差的等差数列，当r≠0时，数列的通项公式为an＝__________________，即数列{an}不是等差数列，但是从第二项起构成了以________为首项，以________为公差的等差数列．2p3p+q2p►知识点二等差数列前n项和Sn的最值1．根据单调性求最值由二次函数的性质知：(1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负项(或0)，等差数列{an}的前n项和Sn有最________值；(2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正项(或0)，等差数列{an}的前n项和Sn有最________值．大小2．求最值的主要方法(1)利用an的符号：当a1>0，d<0时，可由an≥0且an＋1≤0，求得n的值；当a1<0，d>0时，可由an≤0且an＋1≥0，求得n的值．(2)由Sn＝d2n2＋a1－d2n，利用二次函数的配方法求得最值及取得最值时n的值．说明：等差数列前n项和不仅给出了一种判断数列是否为等差数列的方法，同时也告诉我们可以借助于二次函数的图像和性质(主要指单调性和最值)来研究与等差数列前n项和有关的问题．►知识点二等差数列前n项和的性质性质1：若数列an是等差数列，Sn是其前n项的和，k∈N*，那么____，________，________成等差数列．如图2－3－1所示．SkS3k－S2kS2k－Sk性质2：奇数项和与偶数项和的关系设数列an是公差为d的等差数列，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项的和，d为公差，等差数列的中间一项记为a中，则前n项和Sn＝S奇＋S偶，有如下性质：①当n为偶数时，S偶－S奇＝______；②当n为奇数时，则S奇－S偶＝____，S奇＝________，S偶＝________，S奇S偶＝________，SnS奇－S偶＝S奇＋S偶S奇－S偶＝______.n＋12a中a中nn－12a中n＋1n－1nn2d性质3：前n项和Sn与an通项的关系若等差数列{an}的前2n－1项的和为S2n－1，等差数列{bn}的前2n－1项的和为S′2n－1，则anbn＝________.S2n－1S′2n－1典例类析►题组一等差数列的前n项和的最值【例题演练】例在等差数列{an}中，若a1＝25，且S9＝S17，则Sn的最大值为()A．150B．210C．169D．171[解析]解答本题可先根据条件求出公差d，然后利用Sn或an求Sn的最大值．解法一： S9＝S17，a1＝25，∴9×25＋99－12d＝17×25＋1717－12d，解得d＝－2.∴Sn＝25n＋nn－12×(－2)＝－n2＋26n＝－(n－13)2＋169.∴当n＝13时，Sn有最大值169.[答案]C解法二：同解法一，求出公差d＝－2.∴an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27. a1＝25>0，由an＝－2n＋27≥0，an＋1＝－2n＋1＋27≤0，得n≤1312，n≥1212.∴当n＝13时，Sn有最大值169.[点评]解法一利用Sn是n的二次函数关系，归纳为求二次函数的最值问题，不过要注意自变量n是正整数；解法二是从研究数列的单调性及项的正负，进而研究前n项和Sn的最大值．【变式巩固】已知等差数列{an}的通项公式为an＝24－3n，则该数列前多少项和最大？解：由an＝24－3n知当n≤8时，an≥0，当n≥9时，an<0，故前8项或前7项的和取最大值．►题组二等差数列的前n项和性质的应用【例题演练】例1[2013·苏锡常镇调研]两个等差数列的前n项和之比为5n＋102n－1，则它们的第7项之比为________．[答案]3∶1[解析]设两个数列{an}，{bn}的前n项和为Sn，Tn，则SnTn＝5n＋102n－1，而a7b7＝a1＋a13b1＋b13＝S13T13＝5×13＋102×13－1＝31.•例2一个等差数列的前12项之和为354，前12项中偶数项与奇数项之和的比为3227...
