3112方程的根与函数的零点习题课VIP专享VIP免费

方程的根与零点习题课【解析】(法一)数形结合:函数f(x)=2x+x3-2在(0,1)的零点个数,即可转化为函数h(x)=x3与函数g(x)=2-2x在区间(0,1)的交点情况.如图:存在一个交点,即函数f(x)=2x+x3-2在(0,1)的零点个数为1个.(法二)根的存在定理:因为f(0)=-1<0,f(1)=1>0,所以f(0)f(1)<0,又因为f(x)=2x+x3-2在区间(0,1)上单调递增且连续,所以函数在区间(0,1)上只有一个零点.B例1.函数在区间（0,1）内的零点个数是（）3()22xfxx引申1.函数的零点个数为()A．0B．1C．4D．21|log|3)(21xxfxC引申2.函数是定义域为R的奇函数，且时，则函数的零点个数是（）A．1B．2C．3D．40x1()22xfxxaC设f(x)=ቊ2x,x≥0,-x,x<0.(1)f(x)有零点吗?(2)设g(x)=f(x)+k,为了使方程g(x)=0有且只有一个根,k应该怎样限制?(3)当k=-1时,g(x)有零点吗?如果有,把它求出来,如果没有,请说明理由.(4)你给k规定一个范围,使得方程g(x)=0总有两个根.【解析】(1)画出f(x)的图象,如图(1),从图象可以看出,图象与x轴没有交点,f(x)没有零点.(2)从图(1)可以看出f(x)>0.对于g(x)=f(x)+k,为了使方程g(x)=0有且只有一个根,例2.(1)(2)f(x)的图象必须向下移动,但移动的幅度要小于1,否则g(x)=0就有两个根了.k应限制为-10),其中e表示自然对数的底数.(1)若g(x)=m有零点,求m的取值范围;(2)确定t的取值范围,使得g(x)-f(x)=0有两个相异实根.2ex【解析】f(x)=0⇔x2-2|x|=a+1,令g(x)=x2-2|x|,h(x)=a+1,则有g(x)=ቊx2-2x,x≥0,x2+2x,x<0,g(x)、h(x)图象如图所示.g(-2)=g(0)=g(2)=0,g(-1)=g(1)=-1,当a+1<-1,即a<-2时,g(x)与h(x)无交点;当a+1=-1或a+1>0,即a=-2或a>-1时,g(x)与h(x)有两个交点;当-1-1时,函数f(x)有两个零点;当-20,解得{m|m≥9}.(2)由题意得f(1)=2m-2<0,解得{m|m<1}.(3)由题意得ەۖ۔ۖۓΔ=(m-3)2-4m≥0,0<3-m2<2,f(0)=m>0,f(2)=3m-2>0,解得{m|230,f(0)=m<0,f(4)=5m+4>0,解得{m|-450)的根的分布的一般方法:一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)根的分布问题可以转化二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的零点问题,结合图象和性质进行转化;(1)若方程的两根中的一根大于m,另一根小于m,则;当m=0,即方程的根一正一负时,.(2)若方程的两根都大于m,则;若方程的两根都小于m,则.(3)若方程的两根在区间(m,n)的两侧,则.൞𝑓(𝑚)>0-𝑏2𝑎>m𝛥≥0൞𝑓(𝑚)>0-𝑏2𝑎0𝑓(𝑛)>0𝑚<-𝑏2𝑎0൜𝑓(𝑚)𝑓(𝑛)<0𝑓(𝑝)𝑓(𝑞)<0关于X的方程有两个实根，且一个大于4，一个小于4，求实数的取值范围mx2+2(m+3)x+2m+14=0引申1：【解析】(1)设f(x)=2x2-(m+1)x+m,则实数f(x)的图象是一条开口向上的抛物线,依题意得f(0)<0,即m<0,故实数m的取值范围是(-∞,0).(2)令f(x)=mx2+2(m+3)x+2m+14.依题意得ቄm>0,f(4)<0或ቄm<0,f(4)>0,即ቄm>0,26m+38<0或ቄm<0,26m+38>0,解得-1913