《二次函数》补充学案VIP免费

《二次函数》补充学案【知识要点】(一)、二次函数的三种表示法一般式：；顶点式：其中，交点式：其中为函数与x轴交点的横坐标（前提条件）；(2)一元二次方程与一元二次不等式①当△>0时，（）的两个根为()，则，，，②当△=0时，（）的两个等根为，则，不等式无解；，③△<0时，无实数解，则，不等式无解；(3)根与系数的关系若（）的两个根为则（二）、基本性质设二次函数在区间［p，q］上的最大值M，最小值m，令若，则f(p)=m，f(q)=M；若p≤－b2a0,¿{−b2a>r,¿¿¿¿③二次方程f(x)=0在区间(p，q)内有两根⇔¿{Δ=b2−4ac>0,¿{p<−b2a0,¿¿¿④二次方程f(x)=0在区间(p，q)内只有一根⇔f(p)·f(q)<0，或f(p)=0(检验)或f(q)=0(检验)另一根若在(p，q)内成立新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆(2)一元二次不等式转化策略①二次不等式f(x)=ax2+bx+c≤0的解集是:(－∞，α]∪［β，+∞)⇔a<0且f(α)=f(β)=0；②当a>0时，f(α)|β+b2a|；③当a>0时，二次不等式f(x)>0在［p，q］恒成立⇔¿{−b2a0恒成立【例题讲解】：题型一：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的运用例1：已知函数（为实数）。（1）若的图像都在直线的上方，求的取值范围；（2）设在区间上的最小值为，求的表达式；（3）设，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围。题型二：一元二次方程根的分布问题例2：设有一元二次方程。试问：（1）m为何值时，有一正根、一负根。（2）m为何值时，有一根大于1、另一根小于1。（3）m为何值时，有两正根。（4）m为何值时，有两负根。（5）m为何值时，仅有一根在[3，4]内。说明：本题考查方程根的分布问题；既可用根与系数的关系来解，也可利用二次函数图象来解，但都要注意二次函数的对称轴、开口方向、区间的端点值。例3：已知二次函数和一次函数g(x)=－bx，其中a、b、c满足a>b>c，a+b+c=0，(a，b，c∈R)。(1)求证：两函数的图象交于不同的两点A、B；(2)求线段AB在x轴上的射影A1B1的长的取值范围。说明:本题主要考查考生函数与方程思想的运用能力，同时要注意此题表面上重在“形”，因此容易想到在“形”上找突破口，而忽略了“数”。变式1：已知二次函数2yxbxc的图象经过两点P(1,)a，Q(2,10)a。（1）如果,,abc都是整数，且8cba，求,,abc的值。（2）设二次函数2yxbxc的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C。如果关于x的方程20xbxc的两个根都是整数，求△ABC的面积。变式2：已知函数的图象都在x轴上方，求实数k的取值范围。变式3：已知对于x的所有实数值，二次函数(a∈R)的值都是非负的，求关于x的方程xa+2=|a－1|+2的根的取值范围新疆源头学子小屋特级教师王新敞http://www.xjktyg.com/wxc/wxckt@126.comwxckt@126.comhttp://www.xjktyg.com/wxc/王新敞特级教师源头学子小屋新疆【同步练习】（1）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（）A．B．C．D．（2）设是二次函数，若的值域是，则的值域是（）A．B．C．D．（3）关于x的方程mx2+(2m+1)x+m=0有两个不等的实根，则m的取值范围是（）A．(-14，+∞)B．(-∞，-14)C．[-14，+∞]D．(-14，0)∪(0，+∞)（4）函数在区间上是减函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．（5）设是方程x2－2mx＋1－m2=0(m∈R)的两个实根，则的最小值()A．－2B．0C．1D．2（6）已知方程在区间上有解，则实数的取值范围是。（7）（08浙江）已知为常数，函数在区间[0，3]上的最大值为2，则t=__________（8）已知函数的定义域为A，函数的定义域为B，当时，则实数的取值范围为_______（9）设集合A={}，B={}，①若AB={2}，求实数值；②若AB=A，求实数的取值范围。（10）抛物线y=x2+ax+2与连接两点，的线段（包括M、N两点）有两个相异的交点，求a的取值范围。（11）已知函数，①若的定义域和值域均是[1，]，求实数的值；②若，求在[1，+1]上最大值与最小值。（结果用表示）