一元二次方程整数根问题的十二种思维策略一.利用判别式例1.（2000年黑龙江中考题）当m是什么整数时，关于x的一元二次方程2440mxx与2244450xmxmm的根都是整数。解： 方程2440mxx有整数根，∴⊿=16-16m≥0，得m≤1又 方程2244450xmxmm有整数根∴22164(445)0mmmV得54m综上所述，－45≤m≤1∴x可取的整数值是-1，0，1当m=-1时，方程为－x2-4x+4=0没有整数解，舍去。而m≠0∴m=1例2．（1996年四川竞赛题）已知方程210xmxm有两个不相等的正整数根，求m的值。解：设原方程的两个正整数根为x1，x2，则m=－(x1+x2)为负整数.∴244mmV一定是完全平方数设2244mmk（k为正整数）∴22(2)8mk即：(2)(2)8mkmk m+2+k≥m+2-k,且奇偶性相同∴2422mkmk或2224mkmk解得m=1＞0（舍去）或m=－5。当m=－5时，原方程为x2-5x+6=0，两根分别为x1=2，x2=3。二.利用求根公式例3．（2000年全国联赛）设关于x的二次方程2222(68)(264)4kkxkkxk的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值。解：22222(264)4(4)(68)4(6)kkkkkkV由求根公式得222642(6)2(68)kkkxkk即12241,142xxkk由于x≠-1，则有12244,211kkxx两式相减，得1224211xx即12(3)2xx由于x1，x2是整数，故可求得122,4xx或122,2xx或121,5xx分别代入，易得k=310，6，3。三.利用方程根的定义例4.b为何值时，方程220xbx和22(1)0xxbb有相同的整数根？并且求出它们的整数根？解：两式相减，整理得(2-b)x=(2-b)(1+b)当b≠2时,x=1+b,代入第一个方程,得2(1)(1)20bbb解得b=1,x=2当b=2时,两方程无整数根.∴b=1,相同的整数根是2四.利用因式分解例5.（2000年全国竞赛题）已知关于x的方程2(1)210axxa的根都是整数，那么符合条件的整数a有___________个.解:当a=1时,x=1当a≠1时,原方程左边因式分解,得(x-1)[(a-1)x+(a+1)]=0即得1221,11xxa x是整数∴1-a=±1,±2,∴a=-1,0,2,3由上可知符合条件的整数有5个.例6.(1994年福州竞赛题)当m是什么整数时,关于x的方程2(1)10xmxm的两根都是整数?解：设方程的两整数根分别是x1，x2，由韦达定理得121xxmL①121xxmL②由②①消去m，可得12212xxxx12(1)(1)3131(3)xx则有121113xx或121113xx解得：1224xx或1202xx由此128xx或0，分别代入②，得7m或1m五.利用根与系数的关系例7.(1998年全国竞赛题)求所有正实数a,使得方程240xaxa仅有整数根.解：设方程的两整数根分别是x1，x2，且12xx由根与系数的关系得120xxaL①1240xxaL②由①得22axa③将③代入②得1214axxxa12142aaxxx∴148x显然x1≠4，故x1可取5，6，7，8。从而易得a=25，18，16。六.构造新方程例8.(1996年全国联赛)方程()(8)10xax有两个整数根,求a的值.解：原方程变为2(8)(8)(8)10xax设y=x-8，则得新方程为2(8)10yay设它的两根为y1，y2，则12128,1yyayy x是整数，∴y1，y2也是整数，则y1，y2只能分别为1，-1或-1，1即y1+y2=0∴a=8。七.构造等式例9.(2000年全国联赛C卷)求所有的正整数a,b,c,使得关于x的方程222320,320,320xaxbxbxcxcxa的所有的根都是正整数.解：设三个方程的正整数解分别为123456,,,,,xxxxxx，则有21232()()xaxbxxxx23432()()xbxcxxxx25632()()xcxaxxxx令x=1，并将三式相加，注意到xi≥1（i=1，2，⋯6），有1234563()(1)(1)(1)(1)(1)(1)0000abcxxxxxx但a≥1，b≥1，c≥1，又有3-（a+b+c）≤0，∴3-（a+b+c）=0故a=b=c=1八.分析等式例10.(1993年安徽竞赛题)n为正整数，方程2(31)360xxn有一个整数根，则n=__________.解：不妨设已知方程的整数根为α，则2(31)360aan整理。得263()aaan因为a为整数，所以26aa为整数3()an也一定是整数，要使3()an为整数，必有an由此得260aa，即260nn解得n=3或-2（舍去）∴n=3。九.反客为主例11.(第三届《祖冲之杯》竞赛题)求出所有正整数a,使方程22(21)4(3)0axaxa至少有一个整数根.解：由原方程知x≠2，不妨将方程整理成关于的一元一次方程2(44)212xxax得22121(2)xax（因为是正整数）则得(4)(2)0xx解得42x因此，x只能取-4，-3，-1，0，1，2。分别代入a的表达式，故所求的正整数a是1，3，6，10。十.利用配方法例12.(第三届《祖冲之杯》竞赛题)已知方程22(1)2(51)240axax有两个不等的负整数根,则整数a的值是__________.解：原方程可变为222102240a...
