3.8函数的最大值与最小值（一）25年1月21日黄冈中学网校达州分校1.函数极值的定义：定义：设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0),我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0).极大值与极小值统称为极值.复习回顾黄冈中学网校达州分校2.函数极大值与极小值的判断：.)(,)(,)()()(,)(,)()()()(是极小值那么右侧附近的左侧如果在是极大值；那么右侧附近的左侧如果在方法：是极大值还是极小值的处连续时，判断在点当函数000000002001xfxfxfxxfxfxfxxfxxfy黄冈中学网校达州分校3.求可导函数f(x)的极值的步骤：.)()()()(.)()(.)()(在这个根处取得极小值如果左负右正，那么；在这个根处取得极大值如果左正右负，那么符号，在方程的根左右的值的检查的根求方程求导数xfxfxfxfxf3021黄冈中学网校达州分校函数的最大值与最小值：在某些问题中，我们往往关心的是函数在整个定义区间上，哪个值最大，哪个值最小.观察定义在区间[a，b]上的函数f(x)的图象.Oxyy=f(x)ax1x2bf(x1)与f(x2)是极小值，f(0)是极大值.函数f(x)在[a，b]上的最大值是f(b)，最小值是f(x2).新课教学黄冈中学网校达州分校最大值最小值定理:在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值与最小值..),()(最大值与最小值内连续，但没有在例如，函数01xxf黄冈中学网校达州分校利用导数求函数的最值步骤:设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，那么求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值，最小值的步骤：(1)求f(x)在(a，b)内的极值；(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.注:(1)函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．(2)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个也没有.黄冈中学网校达州分校例1求函数在y=x4-2x2+5区间[-2,2]上的最大值与最小值.例题解析解：先求导数，得y′=4x3-4x,令y′=0,有4x3-4x=0，解得x=-1,0,1当x变化时，y′，y的变化情况如下表X-2（-2,-1）-1（-1,0）0（0,1）1（1,2）2y/－0＋0－0＋y13↘4↗5↘4↗13从上表知，当时，函数有最大值13，当时，函数有最小值42x1x黄冈中学网校达州分校例1求函数y=x4-2x2+5在区间[-2，2]上的最大值与最小值.图象如右图.y=x4-2x2+5-111210864-222Oxy黄冈中学网校达州分校例2、已知f(x)=ax3+bx2-2x+c在x=-2时有极大值6，在x=1时有极小值，求a、b、c的值；并求f(x)在区间[-3，3]上的最大值和最小值..38,21,31.6448)2(,0223)1(,02412)2(cbacbafbafbaf解得,223)(2bxaxxf解：（1）由条件知黄冈中学网校达州分校,2)(,3822131)(223xxxfxxxxf（2）x－3(-3,-2)－2(－2,1)1(1,3)3＋0－0＋↗6↘↗)(xf)(xf23256616由上表知，在区间[－3，3]上，当x=3时，f(x)max=,x=1时f(x)min=，256616黄冈中学网校达州分校1．下列说法正确的是()A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值2、函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f′(x)()A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有可能3、函数y=，在［－1，1］上的最小值为()A.0B.－2C.－1D.练习234213141xxxDAA1213黄冈中学网校达州分校4、设y=|x|3,那么y在区间［－3，－1］上的最小值是()A.27B.－3C.－1D.15、设f(x)=ax3－6ax2+b在区间［－1，2］上的最大值为3，最小值为－29，且a>b,则()A.a=2,b=29B.a=2,b=3C.a=3,b=2D.a=－2,b=－3DB黄冈中学网校达州分校(1)函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点，导数不存在的点，区间端点；(2)闭区间上的连续函数一定有最值；开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值小结
