1.3.1二项式定理-(2)VIP免费

第一章——[学习目标]1.了解杨辉三角，会用杨辉三角求二项式乘方次数不大时的各项的二项式系数.2.理解二项式系数的性质并灵活运用.1.3二项式定理1.3.2杨辉三角1预习导学挑战自我，点点落实2课堂讲义重点难点，个个击破3当堂检测当堂训练，体验成功[知识链接]1.二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同吗？答不是.二项式系数表中第一行是两个数，而杨辉三角的第一行只有一个数.实际上二项式系数表中的第n行与杨辉三角中的第n＋1行对应数值相等.2.根据杨辉三角的第1个规律，同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？答对称性，Cmn＝Cn－mn.3.二项式系数何时取得最大值？答当n是偶数时，中间的一项的二项式系数取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项式系数12Cnn，12Cnn相等且同时取得最大值.[预习导引]二项式系数的性质(1)每一行的两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的.(2)每一行中，与首末两端“等距离”的两个数.和相等(3)如果二项式的幂指数n是偶数，那么T项的二项式系数最大；如果n是奇数，那么T与T项的二项式系数相等且最大.(4)二项展开式的二项式系数的和等于.12n12n112n2n要点一与杨辉三角有关的问题例1如图在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，记其前n项和为Sn，求S19的值.解由图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，第17项是C210，第18项是C110，第19项是C211.…，∴S19＝(C12＋C22)＋(C13＋C23)＋(C14＋C24)＋…＋(C110＋C210)＋C211＝C23＋C24＋C25＋…＋C211＋C211＝C33＋C23＋C24＋C25＋…＋C211－1＋C211＝C312－1＋C211＝274.规律方法解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是：通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系.然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来，使问题得解.注意观察方向：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察.跟踪演练1如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051………则C13n∶C14n＝2∶3.解析设第n行从左至右第14与第15个数之比为2∶3，∴3C13n＝2C14n，即3·n！13！·n－13！＝2·n！14！·n－14！，得：3n－13＝214，∴n＝34.答案34要点二二项展开式的系数和问题例2已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求下列各式的值.(1)a1＋a2＋…＋a7；解令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－1.①令x＝－1，则a0－a1＋a2－…－a7＝37.②令x＝0，得a0＝1，代入①中得：a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.(2)a1＋a3＋a5＋a7；解由①－②得2a1＋2a3＋2a5＋2a7＝－1－37，∴a1＋a3＋a5＋a7＝－1－372＝－1094.(3)a0＋a2＋a4＋a6；解由①＋②得2a0＋2a2＋2a4＋2a6＝－1＋37，∴a0＋a2＋a4＋a6＝－1＋372＝1093.(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.解方法一 (1－2x)7的展开式中，a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1093－(－1094)＝2187.方法二|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|是(1＋2x)7展开式中各项的系数和，令x＝1，∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＝37＝2187.规律方法赋值法是求二项展开式系数及有关问题的常用方法，注意取值要有利于问题的解决，可以取一个值或几个值，也可以取几组值，解决问题时要避免漏项.一般地，对于多项式f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，各项系数和为f(1)，奇次项系数和为[f(1)－f(－1)]，偶次项系数和为[f(1)＋f(－1)]，a0＝f(0).1212跟踪演练2设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值：(1)a0；解由(2－3x)100展开式中的常数项为C0100·2100，即a0＝2100.3或令x＝0，则展开式可化为a0＝2100.(2)a1＋a2＋…＋a100；解令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－3)100，①∴a1＋a2＋…＋a100＝(2－3)100－2100.(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；解令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋3)100，②与①联立相减可得a1＋a3＋…＋a99＝2－3100－2＋3...