抛物线的几何性质抛物线的几何性质2017110820171108结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索其的几何性质:(1)范围(2)对称性(3)顶点类比探索x≥0,yR∈关于x轴对称,对称轴又叫抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点.(4)离心率(5)焦半径(6)通径始终为常数1通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。PF=x0+xOyFP通径的长度：2P思考：通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗？2P特点1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;4.抛物线的离心率是确定的,为1;5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.P越大,开口越开阔图形方程焦点准线范围顶点对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF2px2px2py2pyx≥0yR∈x≤0yR∈y≥0xR∈y≤0xR∈(0,0)x轴y轴1例题例1.求满足下列条件的抛物线的标准方程.（1）焦点为F(5,0)解：(1)设抛物线标准方程为y2=2px(p>0)因为=5，所以P=102P所以抛物线的标准方程是y2=20x例题例1.求满足下列条件的抛物线的标准方程.（2）经过点M(2,)22设抛物线标准方程为y2=2p1x(p1>0)或x2=-2p2y(p2>0)代入M点坐标得p1=2或p2=所以抛物线的标准方程是y2=4x或x2=解(2)因为M在第四象限，故抛物线开口向右或向下22y2例题——焦点弦问题例2.斜率为1的直线l经过抛物线y2=16x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.抛物线的焦点弦的长度可以用普通弦长公式求解，更可以用x1+x2+p求出.若已知焦点弦所在直线的倾斜角为θ，则焦点弦长度可用θ表示为.2sin2p抛物线的焦点弦中，通径最短！练习:过抛物线的焦点,作倾斜角为的直线,则被抛物线截得的弦长为y2=8x04516例题——焦点弦问题变式.斜率为k的直线l经过抛物线y2=2px的焦点F,且与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点,求证：4;)1(221221pxxpyy(2)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.ylMNBAOFH例3抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水下降1米后，水面宽多少？2yxO解：以抛物线拱桥的最高点为坐标原点，过原点垂直于水平面的直线为y轴,建立直角坐标系.抛物线形拱桥所在的抛物线标准方程为x2=-2py根据已知条件可知水平面的B点坐标为(2,-2),代入方程得：22=-2p(-2)，p=1所以抛物线方程为x2=-2y水面下降1米后B′点坐标为(x,-3)代入方程中，得x2=-2(-3)=66x所以这时水面宽为米6243？B(2,-2)B′(x,-3)问题：一抛物线型拱桥跨度为4米,拱顶离水面2米,一水面上飘浮一宽2米,高出水面1.4米的大木箱,问能否通过该拱桥？1、已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，那么抛物线通径长是.2、一个正三角形的三个顶点，都在抛物线上，其中一个顶点为坐标原点，则这个三角形的面积为。1648324yx练习小结:1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、通径;2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题;
