2．2.2二次函数的性质与图象【课标要求】1．会用“描点法”作出y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象．2．通过图象研究二次函数的性质．3．掌握研究二次函数常用的方法——配方法．4．会求二次函数在闭区间上的最值(值域)．【核心扫描】1．二次函数的图象与配方法．(重点)2．求二次函数在闭区间上的最值．(难点)自学导引1．二次函数的定义函数叫做二次函数，它的定义域为R.2．函数y＝ax2(a≠0)的图象和性质(1)函数y＝ax2(a≠0)的图象是一条顶点为原点的抛物线，a>0时，抛物线开口；a<0时，抛物线开口．(2)函数y＝ax2(a≠0)为(填“奇函数”或“偶函数”)．(3)函数y＝ax2(a≠0)的图象的对称轴为．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)向上向下偶函数y轴3．二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)的性质(1)函数的图象是，抛物线的顶点坐标是，抛物线的对称轴是直线；(2)当a>0时，抛物线开口向上，函数在处取最小值ymin＝k，在区间上是减函数，在上是增函数；(3)当a<0时，抛物线开口向下，函数在处取最大值ymax＝k，在区间上是增函数，在上是减函数．一条抛物线(h，k)x＝hx＝h(－∞，h][h，＋∞)x＝h(－∞，h][h，＋∞)试一试：由函数y＝x2，通过怎样的变换能得到函数y＝x2－2x＋3的图象？提示 y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由y＝x2经过平移可得到y＝(x－1)2＋2，即y＝x2向右平移1个单位得y＝(x－1)2，再向上平移2个单位得y＝(x－1)2＋2.想一想：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中哪些量决定函数的单调区间与单调性？提示二次函数的对称轴与开口方向两个量决定函数的单调性与单调区间，即系数a与b.名师点睛1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中各系数a，b，c的作用(1)a决定抛物线的开口方向，a＞0，开口向上；a＜0，开口向下．(2)a、b决定抛物线的对称轴的位置，a、b同号，对称轴x＝－b2a＜0在y轴的左侧；a、b异号，对称轴x＝－b2a＞0在y轴的右侧．(3)c决定抛物线与y轴的交点(此时点的横坐标x＝0)的位置：c＞0，与y轴的交点在y轴的正半轴上；c＝0，抛物线经过原点；c＜0，与y轴的交点在y轴的负半轴上．(4)b2－4ac决定抛物线与x轴交点的个数，当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．2．常用二次函数的性质(1)当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，则有x1＋x2＝－ba.(2)当二次函数f(x)在(－∞，m]和[m，＋∞)上的单调性相反时，m＝－b2a.(3)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象与x轴交点的个数等于方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根的个数，且当二次函数f(x)的图象与x轴有交点时，其交点的横坐标是方程f(x)＝0的实数根．题型一二次函数的图象与性质【例1】已知函数y＝f(x)＝3x2－6x＋1.(1)求其对称轴和顶点坐标，并画出其图象；(2)求出它的单调区间及最大值或最小值；(3)已知f(－1)＝10，不计算函数值，求f(3)．[思路探索]属于二次函数配方后，研究其性质．解y＝3x2－6x＋1＝3(x－1)2－2，由于x2项的系数为正数，所以函数图象开口向上．图象如下图．(1)顶点坐标为(1，－2)，对称轴方程为x＝1；(2)函数在区间(－∞，1]上递减，在区间[1，＋∞)上递增；函数有最小值，没有最大值，函数的最小值为－2.(3) f(－1)＝10，又|－1－1|＝2，|3－1|＝2，∴由二次函数的对称性可知，f(－1)＝f(3)＝10.规律方法配方法是研究二次函数最值及对称性、顶点坐标等的基本方法，在探究出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴以后，其图象的对称性及其单调性能较直观的反应出来．【训练1】已知二次函数y＝2x2－4x－6.(1)画出该函数的图象，并指明此函数图象的开口方向，对称轴及顶点坐标；(2)由图象判断x为何值时，y＞0，y＝0，y＜0?解(1)由y＝2x2－4x－6＝2(x－1)2－8，图象如图由图象可知，函数图象开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，－8)．(2)由图象可知，x＞3，或x＜－1时，y＞0；x＝－1或x＝3时，y＝0；－1＜x＜3时，y＜0.题型二二次函数性质应用【例2】已知函数f(x)＝x|x－2|.(1)画出函数y＝f(x)的图象；(2)写出f(x)的单调区间，并指出在各个区间上是增函数还是减函数？(不必证明)(3)已知f(x)＝14，求x的值．[思路探索]去掉绝对值号，属于二次函数的图象与性质问...
