(新课程)2013高中数学-3.2-二倍角的三角函数课件-苏教版必修4VIP专享VIP免费

3.2二倍角的三角函数【课标要求】1．能从两角和的正弦、余弦、正切公式出发，推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式；2．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，通过对倍角公式的正用、逆用、变形使用，提高三角变形能力．【核心扫描】1．二倍角的正弦、余弦、正切公式．(重点)2．运用二倍角公式进行恒等变换，变形应用．(难点)自学导引二倍角公式S2α：sin2α＝，C2α：cos2α＝＝＝，T2α：tan2α＝2tanα1－tan2α.试一试：试用S2α与C2α的公式推导T2α.2sinαcosα2cos2α－11－2sin2αcos2α－sin2α提示tan2α＝sin2αcos2α＝2sinα·cosαcos2α－sin2α＝2sinα·cosαcos2αcos2α－sin2αcos2α＝2tanα1－tan2α.想一想：C2α中可以有哪些变形？提示cos2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α＝cos2α－sin2α常用变形有：cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.名师点睛倍角公式的变形及应用(1)“二倍角”应有广义的理解，即二倍角是相对的如：4α是2α的二倍角，α是α2的二倍角等．(2)公式的逆用及有关变形逆用：2sinαcosα＝sin2α，cosα＝sin2α2sinα，cos2α－sin2α＝cos2α.公式的有关变形：1±sin2α＝sin2α＋cos2α±2sinαcosα＝(sinα±cosα)2.1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α，cos2α＝1＋cos2α2，sin2α＝1－cos2α2.(3)升降幂公式，升幂时由倍角到单角，降幂时由单角到倍角升幂公式：1＋cosα＝2cos2α2，1－cosα＝2sin2α2.降幂公式：cos2α＝12(1＋cos2α)，sin2α＝12(1－cos2α).题型一求三角函数徝【例1】已知sinα＋cosα＝13，且0＜α＜π，求sin2α，cos2α，tan2α的值．[思路探索]属于倍角公式的直接应用．解法一 sinα＋cosα＝13，∴sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝19.∴sin2α＝－89且sinαcosα＝－49＜0. 0＜α＜π，sinα＞0，∴cosα＜0.∴sinα－cosα＞0.∴sinα－cosα＝sinα－cosα2＝1－sin2α＝173.∴cos2α＝cos2α－sin2α＝(sinα＋cosα)(cosα－sinα)＝13×－173＝－179.tan2α＝sin2αcos2α＝81717.法二 sinα＋cosα＝13，平方得sinαcosα＝－49，∴sinα、cosα可看成方程x2－13x－49＝0的两根，解方程x2－13x－49＝0，得x1＝1＋176，x2＝1－176， α∈(0，π)，∴sinα＞0，∴sinα＝1＋176，cosα＝1－176.∴sin2α＝2sinαcosα＝－89，cos2α＝cos2α－sin2α＝－179，tan2α＝sin2αcos2α＝81717.规律方法分析角之间的关系，结合相应的公式求值，要注意角的范围及恒等变换．【变式1】已知tanα＋1tanα＝52，α∈π4，π2.求cos2α和sin2α＋π4的值．解由tanα＋1tanα＝52得，sinαcosα＋cosαsinα＝52，则2sin2α＝52∴sin2α＝45，又α∈π4，π2∴2α∈π2，π∴cos2α＝－35∴sin2α＋π4＝sin2α·cosπ4＋cos2α·sinπ4＝45×22＋－35×22＝210.题型二化简求值【例2】求值：(1)sin10°sin50°sin70°；(2)1＋sin4α＋cos4α1＋sin4α－cos4α；(3)sin50°1＋3tan10°－cos20°cos80°1－cos20°.[思路探索]应用公式化简求值．解(1)sin10°sin50°sin70°＝sin20°sin50°sin70°2cos10°＝sin20°cos20°sin50°2cos10°＝sin40°cos40°4cos10°＝sin80°8cos10°＝18.(2)原式＝1＋cos4α＋sin4α1－cos4α＋sin4α＝2cos22α＋2sin2αcos2α2sin22α＋2sin2αcos2α＝cos2αsin2α＝1tan2α.(3) sin50°(1＋3tan10°)＝sin50°·cos10°＋3sin10°cos10°＝sin50°·2sin40°cos10°＝1，cos80°1－cos20°＝sin10°2sin210°＝2sin210°，∴sin50°1＋3tan10°－cos20°cos80°1－cos20°＝1－cos20°2sin210°＝2.规律方法在化简求值问题中，一般先看角，即看所给角之间的关系，是倍角还是互余、互补等；再统一函数名称，一般是化切为弦；再根据结构形式选择合适的公式进行转化．【变式2】求值：(1)2cos2α－12tanπ4－α·sin2π4＋α；(2)tan70°cos10°·(3tan20°－1)．解(1)原式＝cos2α2tanπ4－α·cos2...