在七年级上册4.6节“用尺规作线段与角”的数学活动中，曾介绍过画正五角星，你还记得是怎么画的吗？下面就来研究这样画的道理.1.正多边形的定义各边相等,各角也相等的多边形叫做正多边形.如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形.正多边形与圆有非常密切的关系，把一个圆分成n条相等的弧，就可以作出这个圆的内接或外切正n边形.如图24-56，点A,B,C,D,E把圆分成5等份，求证：⑴依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内接正五边形；⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的五边形是这个圆的外切正五边形.ABCDEPQRSTO图24-56⌒⌒⌒123ABCDE4⌒⌒5证明:(1） AB=BC=CD=DE=EA;∴AB=BC=CD=DE=EA， BCE=CDA=3AB，∴∠1=∠2，同理∠2=∠3=∠4=∠5，又 顶点A，B，C，D，E都在⊙O上，∴五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形.⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒（2）连接OA，OB，OC，则∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB. TP，PQ，QR分别是以A，B，C为切点的⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ.∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.ABCDEPQRSTO又 AB=BC，∴AB=BC，∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形.∴∠P=∠Q,PQ=2PA.同理∠Q=∠R=∠S=∠T，QR=RS=ST=TP=2PA，⌒⌒ 五边形PQRST的各边都与⊙O相切，∴五边形PQRST是⊙O的外切正五边形.ABCDEPQRSTO由上可知，通过等分圆周的方法能作出正多边形.(1)用量角器等分圆周由在同圆中相等的弦所对的弧相等可知，在同一个圆中，先用量角器作一个等于360°/n的圆心角，这个角所对的弧就是圆周的1/n，然后在在圆周上一次截取这条弧的等弧，就得到圆的n等份点，从而作出正n边形（正五角星就是这样作出的）.(2)用尺规等分圆周对于一些特殊的正n边形，还可以用直尺和圆规等分圆周.①正四边形的作法如图24-57（1），用直尺和圆规作⊙O的两条互相垂直的直径，就可以把⊙O分成四等份，从而作出正四边形.我们再逐次平分各边所对的弧，就可以作出正八边形图24-57（2），正十六边形.如图24-58（1），设⊙O的半径为R，通常先作出⊙O的一条直径AB，然后分别以点A,B为圆心，R为半径作弧，与⊙O交于点C,D,E,F，从而得到⊙O的6等份点，作出正六边形.如果再逐次等分各边所对的弧，就可作出正十二边形，正二十四边形等.我们可以连续6等份圆周的相间的两个点，得到正三角形，如图24-58（2）.②正六边形的作法如何画一个边长为2cm的正六边形？探究OABCDEF1、以2cm为半径作一个⊙O；2、用量角器画一个60°的圆心角；3、在圆上顺次截取这个圆心角对的弧；4、顺次连接分点。即为所求作的正六边形将一个圆n等份，就可以作出这个圆的内接或外切正n边形.反过来，是不是每个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆呢？我们仍然以正五边形为例来进行探究.2.正多边形的性质如图24-59，过正五边形ABCDE的顶点A,B,C作⊙O，连接OA,OB,OC,OD,OE. OB=OC∴∠1=∠2.又 ∠ABC=∠BCD,∴∠3=∠4 AB=DC,∴△OAB≌△ODC,∴OA=OD,即点D在⊙O上同理，点E在⊙O上．所以正五边形ABCDE有一个外接圆⊙O．由于正五边形ABCDE的各边是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等．因此，以点O为圆心，以弦心距(OH)为半径的圆与正五边形的各边都相切．所以正五边形ABCDE还有一个以O为圆心的内切圆．1.正五边形的任意三个顶点都不在同一条直线上.2.它的任意三个顶点确定一个圆，即确定了圆心和半径．3.其他两个顶点到圆心的距离都等于半径．4.正五边形的各顶点共圆．5.正五边形有外接圆．6.圆心到各边的距离相等．7.正五边形有内切圆，它的圆心是外接圆的圆心，半径是圆心到任意一边的距离．8.照此法证明，正六边形、正七边形、…正n边形都有一个外接圆和内切圆．定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．归纳：我们把一个正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距．正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等．正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角．正n边形的每个中心角都等于360°/n.正多边形都是轴对称图形，一个正n边形一共有n条对称轴，每一条对称轴都通过正多边形的中心，如图24-60.图24-60如果一个...
