19.7直角三角形全等的判定EFGCBAABCGFEEFGCBAGFECBA（4）S.S.S：三条边对应相等的两个三角形全等.一、复习引入（1）S.A.S：两条边及其夹角对应相等的两个三角形全等.（2）A.S.A：两个角及其夹边对应相等的两个三角形全等.（3）A.A.S：两个角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.2.三角形按角是怎样分类呢？三角形锐角三角形直角三角形钝角三角形问题1：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形是否全等？你能把这个问题用命题的形式来表述吗？问题2：证明一个命题是真命题，有哪几个步骤呢？二、学习新知1、探究定理已知：如图，在△ABC与△A′B′C′中，若AB=A′B′,AC=A′C′,∠C=∠C′=90°.求证：Rt△ABCRt△△A′B′C′.ABCB′A′C′如何把分散的条件，集中到一个图形中？分析：因为AC=A′C′，所以可通过图形的平移，使边AC与边A′C′重合，由于∠ACB=A′C′B′=90°,∠即∠BCB′=180°，因此点B、C、B′必在一条直线上，于是可以构造△ABB′是一个等腰三角形.证明：∵AB=A′B′∴∠B=∠B′（等边对等角）.在△ABC与△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′（已知），∠B=∠B′（已证），AB=A′B′(已知)，∴Rt△ABCRt△△A′B′C′(A.A.S).（已知），把△ABC和△A′B′C′拼在一起，由于AC=A′C′，因此可使AC和A′C′重合；由于∠ACB=∠A′C′B′=90°，所以点B、C（C′)、B′三点必在一条直线上,于是得到△ABB′定理：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等(简记为H.L).ABCA′C′B′“Rt”的符号不要漏写哦！在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，AB=A′B′，AC=A′C′，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(H.L)∟∟2、定理应用例题1已知：如图，△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，点D、E为垂足，BD和CE相交于点F，BD=CE.求证：△ABC是等腰三角形.证明:∵CE⊥AB，BD⊥AC(已知)，∴△EBC和△DCB都是直角三角形.在Rt△EBC与Rt△DCB中，CE=BD(已知)，BC=CB（公共边），∴Rt△EBCRt≌△DCB(H.L).得∠EBC=∠DCB(全等三角形的对应角相等).∴AB=AC（等角对等边）.即△ABC是等腰三角形.想一想还有其他的证明方法吗?ABCEDF你能通过哪一对直角三角形的全等来证明△ABC是等腰三角形呢？∟∟例题2求证：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.已知：如图，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为点C、D，且PC=PD.求证：点P在∠AOB的平分线上.证明：作射线OP.∵PC⊥OA，PD⊥OB（已知），∴∠PCO=∠PDO=90°(垂直的定义).在Rt△OPC与Rt△OPD中，PC=PDOP=（公共边），∴Rt△OPCRt≌△OPD(H.L).得∠2=1∠（全等三角形的对应角相等），（已知），OP即OP是∠AOB的平分线(角平分线的定义）.∴点P在∠AOB的平分线上.OBACDP12分析：要证明点P在∠AOB的平分线上，那就要作出射线OP，只要证明∠POC=∠POD（即∠1=2∠）.∟∟三、课堂反馈练习1、已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，且BD=CD，DE、DF分别垂直于AB、AC,垂足分别为点E、F.求证：EB=FC.ABEFCD证明：∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB，DF⊥AC(已知），∴DE=DF（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.△BDE和△CDF都是直角三角形.在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD=CD（已知），DE=DF(已证），∴Rt△BDERt≌△CDF（H.L）.∴EB=FC（全等三角形的对应边相等）.ADFBE4、已知：如图，AD⊥CD，BC⊥CD，D、C分别为垂足，AB的垂直平分线EF交AB于点E，交CD于点F，BC=DF.求证：AD=FC.C证明：∵EF是AB的垂直平分线（已知），∴FA=FB（线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等）.∵AD⊥CD，BCCD⊥（已知），∴∠D=∠C=90°（垂直的定义）.在Rt△ADF与Rt△FCB中，FA=FB（已证），DF=CB（已知），∴Rt△ADFRt≌△FCB（H.L）.∴AD=FC（全等三角形的对应边相等）.四、课堂小结通过本节课的学习你得到了哪些新知识，又有哪些收获？1．直角三角形全等的特殊的判定——“HL”定理．(注意：一般三角形全等的四种判定方法对直角三角形都适用）2．运用“HL”定理时，前提条件必须是直角三角形，然后依据斜边和一条直角边对应相等，再证明两个直角三角形全等．五、作业布置练习册19.7AEDCBEB∟CDCB∟AEDCBAEC∟DAB∟
