第2课时指数函数的性质及应用目标要求热点提示在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型.1.在研究指数函数性质时，要以一般函数理论为依据，来研究指数函数的性质(如定义域、值域、单调性等．)2．准确把握指数函数的图象，并充分利用图象的形式直观分析解决问题.一种放射性物质不断变为其他物质，每经过1年剩留的质量是原来的84%，写出这种物质的剩留量y关于时间t的函数关系式，画出这种物质的剩留量随时间变化的图象，并从图象上求出大约要经过多少年，剩留量是原来的50%.(结果保留1个有效数字)1．指数函数图象的单调性：(1)当a>1时，函数y＝ax在定义域(－∞，＋∞)上为；(2)当0
0，a≠1)的图象可能是下图中的()解析：由a>0及一次函数图象性质排除A、C、D中由一次函数图象与y轴交点知a>1，此时指数函数图象单调递减；当a>1矛盾，选B.答案：B3．当x>0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是()A．1<|a|<2B．|a|<1C．|a|>1D．|a|>24．(2010·江苏高考)设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)，x∈R是偶函数，则实数a＝________.解析： f(x)是偶函数，∴对任意x∈R都有f(－x)＝f(x)，则必有f(1)＝f(－1)．代入f(x)＝x(ex＋ae－x)可得(1＋a)(e＋e－1)＝0，∴a＝－1.答案：－15．已知函数f(x)＝a－12x＋1是奇函数，求a的值．类型一指数函数的单调性问题【例1】求函数的单调区间．思路分析：利用y＝af(x)型函数的单调性求之．解：设y＝(12)tt＝1x－1 x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)∴t(x)在(－∞，1)及(1，＋∞)上为减函数又y＝(12)t为减函数∴在(－∞，1)及(1，＋∞)上为增函数，∴增区间为(－∞，1)、(1，＋∞)．温馨提示：“换元法”是研究y＝f(ax)型或y＝af(x)型函数的重要方法，利用内外函数“同增异减”的法则，很容易判断此类型函数的单调性．类型二解简单的指数不等式【例2】如果a2x＋1≤ax－5(a>0，且a≠1)，求x的取值范围．思路分析：对a的取值分类讨论，从而得到关于x的不等式，解不等式即可．解：(1)当01时，由于a2x＋1≤ax－5，∴2x＋1≤x－5，解得x≤－6.综上所述，x的取值范围是：当01时，x≤－6.温馨提示：本题易出现解析不完整的情况，原因是未对a进行分类讨论．类型三指数函数的最值问题【例3】设a>0，且a≠1，如果函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值为14，求a的值．解：本题是二次函数与指数函数的综合问题．y＝a2x＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，由x∈[－1,1]知：令t＝ax，此时y＝(t＋1)2－2，①当a>1时，t＝ax为增函数，所以t∈[a－1，a]，显然函数y＝(t＋1)2－2在[a－1，a]上单调递增，从而最大值在t＝a，即x＝1时取到，从而(a＋1)2－2＝14，解之得a＝3或a＝－5(舍去)．②当0
