拓扑学测试题二（共9页）--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小-2(1，‘/'求乱丘分别在数直线应=（）及可数补空间（尺^2）中的三、（10分）闭包和四、（15五、（10（1）叙述是开映射的定义,（2）证明:六、（10分）T，因此它是空间.四然五、不能同时终在测试题二（15分）叙述“T是集合X上的拓扑”的定义；证明：T^匚舟—□是可数集M印是X上的一个拓扑.（15分）（1）叙述完备格的定义；（2）设（心毎）是偏序集，证明：若L的每个子集有下确界，则L是一个完备格.A—|—:nE场，（1）叙述空间的定义；（2）证明：若T）是爲的，则X内每个网至多有一个极限点.设（扎T）,（匚W）是两个拓扑空间，广XTY,是T—W连续的当且仅当灯月UW,/（刀）^T（1）叙述紧空间的定义；（2）证明：爲空间的每个紧子集是闭的.（1）叙述：“是集合X上的一个度量"的定义；（2）证明：若度量空间'丿是可分的，则它是第二可数的.答案一、（15分）⑴T称为集合X上的拓扑，若T满足：（a）T*ET；（b）TT,卩5;（c）耶A匚T=U\匚T.（2）证明：因是可数集，故XuT,^丘耶口FE,则X-UrX-7是可数集，从而X-UI卩=（X—y）U（T-卩）是可数集，即!717ET；^AT,A,是可数集，于是是可数集，从而X-%=1徑-&是可数集，即％匚T.，因此T=W匚疋：疋一口疋可数集｝U｛Q｝是X上的一个拓扑.TT（3）可数补拓扑是的不是•由可数补空间的任意两个非空开集的交不空知它不是爲空间.对兀刀，则\'/且£电夙-｛刃Ez（y）二、（15分）（1）若L的每个子集都有上确界和下确界，则L是完备格.（2）证明：因空集和整个L有下确界，L有最大元1和0•设B是L的任一子集，若B为空集则，否则令D表示B的所有上界之集，对每个显然是D的一个下界，于是心“，即f①是B的一个上界，这样八。是B的最小上界，即vi?=f\D•即L的每个子集有上确界，故L是完备格.三、（10分）解：在数直线4%）中“丽曲^严⑷冋家宀⑴）可数补空间中，A=A,A^=^,B=^^=^（15分）设（X,T）是拓扑空间，5誌工1,若血皿（习伫叭刃使得，则称X是爲分的。、.（X71_4卩亠一八亡h，▼口戸使证明：设T）是的，是内任一网且，但，显卩旷内，矛盾•故.3F的开覆盖，由F是紧的知，它有有限子覆盖卩"=用口匚乂-月.由龙的任意性知F是闭集.（15分）称是集合X上的一个度量，若Q；满足下面的度量公理：Q（2）=0O忑=y;；（。）三角不等式:创兀芒技心（仏刃+灿”可七、(a的'二山"兀｝是X的可数稠子集•对每个皿凡，令B"1心，—开集族•下面说明B是X的基.对每个兀，"丘恥（力，存在讣肌f1]X,XEB「11X,<2如/，这样,B是X的可数基.，结果―回讪訥何且•（2）证明：设度量空间'I是可分eA>■则BEp兀一匚U•因A是X的稠子集，有=Ubc^^是X的可数⑴塚开于却开刊则称在点TW连续的.⑵证明（必要性）W,设.则心”皿,由条件，存在购曲何®匸厂0）.于是厂俨卜U#旳耳已T.（充分性）乜心心出心则T,从而n*,且旷的匚「故是TW连续的.六、（10分）（1）若X的每个开覆盖有有限子覆盖，则称拓扑空间X是紧的•（2）证明设（X,T）是的，F是X的紧子集，任取，由性，存在皿（2）m（v）卩（心刃曲（心使班料）i珥“）虫，则卩是X中开集组成的八、(10分)证明：设耳二■仏八C)，则(av3)A(avc)=(0vb)AG)v((avb)Ac)-av((。v对八可=总v((口AT)v〔b/\叨二av■(口Ac)V®八C二av(Z?Ac)同理设虑Ac)=(0V3)/X(aVC)则Ab)\/(说At)_((df八&)Vc?)A((c?Ab)Vf)二&八((□VC)A(&X/U))=说八佃VG)Vf)测试题三一、（每题3分，共24分）1.任意多个连通空间的积空间一定是连通的.2.紧度量空间的每一个开覆盖都有Lebesgue数.3•局部连通空间的闭子集也是局部连通的.4.任意个道路连通空间的积空间一定是道路连通空间•5.任意个紧致空间的积空间一定是紧致空间•6.度量空间蛊紧致的充要条件是蛊上的任意一个连续函数都是有界的.7•若A在X中稠密，B在A中稠密，则B一定在X中稠密.8.可分空间一定满足G公理二、（20分）设^上）是一个度量空间。证明下述两个结论等价：4，并且X与蛊"X?都道路b）若蛊的每个紧致子集都是闭集，则蛊中的序列的极限是惟一的.答案一、是非1、V2、V3、x4、V5、V6、V7、V8、x二、证明：1）与2）.由于曲同是可分的，故...
