1/27第三章向量组的线性相关性历年试题分类统计及考点分布分值考点年份向量组的线性组合与线性表示线性相关、无关的定义性质及判别向量组的极大无关组与向量组的秩等价向量组、向量的秩与矩阵的秩向量空间、基变换、坐标变换、过渡矩阵标准正交基，正交矩阵其他合计873388338933903391927310936694339596339755984379933003301448020344804440506440744081010093471044合计44832215542/27本章知识脉络图11111111,111(,,)(,,,),,,,,,0Tsssssssssssnkkxxrrkkkk正交化概念—运算—加法，数乘，内积单位化概念线性表出方程组有解表出条件无关，相关（表示法唯一）概念—若（不）存在不全为零的数,使得维向量线性相关性()=11111111,,,,,,0(,,),,,,,,,,0sssssssssxrsxrs+1称线性相关（无关）含零向量，成比例向量，大于向量的维数部分相关；有一个可由其余表出线性相关以少表多，多的相关方程组有非零解判别由表出法唯一线性无关线性无关只有零解,（1,,0si不能由其余的线性表出概念—求法数值求法向量组的秩极大线性无关组关系抽象矩阵的秩证明等价向量组关系—充要条件等价矩阵概念—基，维数，坐标—子空间—解空间基变换——过渡矩阵向量空间坐标变换内积—标准正交化，正交矩阵）3/27考点分析1.向量组线性相关性的概念、性质及判别，考过9次，是重点。2.矩阵的秩（其中有一道是关于空间解析几何的应用题）及其与向量组的秩的关系考过4次。3.满秩方阵（既可逆方阵，或非奇异方阵）是一类重要的方阵。如果A为n阶方阵，则下列条件相互等价：1)||0A（A为非奇异方阵）2)A可逆（A为可逆矩阵）3)()rAn（A为满秩方阵）4)A与同阶单位矩阵E行（列）等价5)A可以表示成若干个初等方阵的乘积6)齐次线性方程0Ax只有零解7)对任意n维列向量b，非齐此线性方程组Axb有唯一解8)A的行（列）向量组线性无关.利用这些等价条件，就可以将其中某个问题转化成与之等价的问题进行处理，（可将m阶方阵AB的行列式是否为零的问题转化为m阶方阵AB的秩是否小于m的问题，或转化为齐此线性方程组0ABx是否有非零解的问题）。特别地，由1)与8)的等价性，提供了n个n维向量是否线性相关的判别方法——归结为由这n个n维向量所组成的方阵的行列式是否为零的问题。4/27大纲要求向量的概念向量的线性组合和线性表示向量组的线性相关与线性无关向量组的极大线性无关组等价向量组向量组的秩向量组的秩与矩阵的秩之间的关系向量空间及其相关概念n维向量空间的基变换和坐标变换过渡矩阵向量的内积线性无关向量组的正交规范化方法规范正交基正交矩阵及其性质考试内容与要求1．理解n维向量、向量的线性组合与线性表示的概念。2．理解向量组线性相关、线性无关的概念，掌握向量组线性相关、线性无关的有关性质及判别法。3．理解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，会求向量组的极大线性无关组及秩。4．理解向量组等价的概念，理解矩阵的秩与其行（列）向量组的秩之间的关系。5．了解n维向量空间、子空间、基底、维数、坐标等概念。6．了解基变换和坐标变换公式，会求过渡矩阵。7．了解内积的概念，掌握线性无关向量组正交规范化的施密特(Schmidt)方法。8．了解规范正交基、正交矩阵的概念以及它们的性质。基本内容一、向量的线性关系1.线性组合定义若1122mmkkk，则称可由m,,,21线性表示，或称是向量组m,,,21的线性组合.注意:零向量是任意向量组的线性组合.定理可由m,,,21线性表示非齐次方程组mmxxx2211有解1212,,,,,,,mmRR2.线性相关性定义设m,,,21是m个n维向量，若有不全为零的数12,,,mkkk使11220mmkkk则称m,,,21线性相关，否则称m,,,21线性无关.注意：（1）无论m,,,21线性相关，还是线性无关，当120mkkk时，都有11220mmkkk（2）m,,,21线性相关当且仅当除去全为零的12,,,mkkk以外，还有一组不全为零的12,,,mkkk使11220mmkkk（3）而m,,,21线性无关当且仅当120mkkk时11220mmkkk（4）充要条件是只要mkkk,,21不全为0，则miiik10性质与判别法(1)m,,,21线性相关齐次组02211mmxxx有非零解.12,,,mRmm,,,21中至少有一个向量可由其余1m个向量线性表示.(2)m,,,21线性无关齐次组02211mmxxx只有非零解.12,,,mRmm,,,21中任一向量都不能由其...
