三角形的内切圆和外接圆VIP专享VIP免费

三角形外接圆半径的求法及应用方法一：R＝ab/(2h)三角形外接圆的直径等于两边的乘积除以第三边上的高所得的商。AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆直径．求证AB·AC＝AE·AD．证：连接AO并延长交圆于点E，连接BE，则∠ABE＝90°. ∠E＝∠C，∠ABE＝∠ADC＝90°，∴Rt△ABE∽Rt△ADC，∴ACAEADAB，∴AB·AC＝AE·AD方法二：2R＝a/SinA，a为∠A的对边在锐角△ABC中，外接圆半径为R。求证：2R＝AB/SinC证：连接AO并延长交圆于点E，连接BE，则∠ABE＝90°.∴AE＝AB/SinE ∠C＝∠E，SinC＝SinE∴AE＝AB/SinC∴2R＝AB/SinC若C为钝角，则SinC＝Sin（180o－C）应用一、已知三角形的三边长，求它的外接圆的半径。例1已知：如图，在△ABC中，AC＝13，BC＝14，AB＝15，求△ABC外接圆⊙O的半径r.分析：作出直径AD，构造Rt△ABD.只要求出△ABC中BC边上的高AE，用方法一就可以求出直径AD.解：作AE⊥BC，垂足为E.设CE＝x, AC2-CE2＝AE2＝AB2-BE2，∴132-x2＝152-(14-x)2∴x=5,即CE＝5，∴AE＝12R＝ab/(2h)=13x15/(2x12)=65/8ABCODE∴△ABC外接圆⊙O的半径r为865.例2已知：在△ABC中，AB＝13，BC＝12，AC＝5，求△ABC的外接圆的半径R.分析：通过判定三角形为直角三角形，易求得直角三角形外接圆的直径等于斜边。应用二、已知三角形的二边长及其夹角（特殊角），求外接圆的半径。例3已知：如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝60°，求△ABC外接圆⊙O的半径R.分析：考虑求出角的对边长AB，然后用方法一或方法二解题.解：作直径AD，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.则∠DBA＝90°，∠D＝∠C＝60°，∠CAE＝∠DAB＝90°－60°＝30°CE＝21AC＝1，AE＝3，AB=√7∴R=AC·AB/2AE=2x√7/(2x3)应用三、已知三角形的一边长二角度或对角的度数（特殊角），求它的外接圆的半径。用方法二例4已知AD=5,AC=7,CD=3,AB=10√3，求它的外接圆的半径解从A作AM⊥BC于M，则AD2－MD2＝AM2＝AC2－(MD＋CD)2．即52－MD2＝72－(MD＋3)2．得R＝14，则△ABC外接圆面积S＝πR2＝196π．例5如图3，已知抛物线y＝x2－4x＋h的顶点A在直线y＝－4x－1上，求①抛物线的顶点坐标；②抛物线与x轴的交点B、C的坐标；③△ABC的外接圆的面积．解①A(2，－9)；ABCODE②B(－1，0)；C(5，0)．③从A作AM⊥x轴交于M点，则BM＝MC＝3．AM＝9．∴R＝5△ABC外接圆面积S＝πR2＝25π三角形内切圆半径r的求法1 S△ABC=1/2(a+b+c)r∴r=2S△ABC/(a+b+c)2Rt△ABC中,r=(a+b-c)/2三角形的内切圆和外接圆【知识要点】1、三角形的外接圆（1）过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角形的外心。三角形的外心到各顶点的距离相等．（2）锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边中点，外接圆半径2cR(c为斜边长)．2、三角形的内切圆（1）到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的内切圆，三角形中，三个内角平分线的交点，叫三角形的内心，三角形内心到三条边的距离相等，内心都在三角形的内部．（2）若三角形的面积为ABCS，周长为a+b+c,则内切圆半径为:cbaSrABC2，当ba,为直ABCEDI角三角形的直角边，c为斜边时，内切圆半径cbaabr或2cbar.3、圆内接四边形的性质（1）圆内接四边形的对角互补；（2）圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角．注意：①圆内接平行四边形为矩形；②圆内接梯形为等腰梯形．4、两个结论：圆的外切四边形对边和相等；圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．【典型例题】一、填空和选择（1）一个三角形的内心，外心都在三角形内，则这个三角形一定是()A、直角三角形B、锐角三角形C、钝角三角形D、等腰三角形（2）如右图，I是ABC的内心，则下列式子正确的是（）A、∠BIC=180-2∠AB、∠BIC=2∠AC、∠BIC=90+∠A/2D、∠BIC=90-∠A/2（3）ABC外切于⊙O，E、F、G分别是⊙O与各边的切点，则EFG的外心是ABC的。（4）直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么它的外接圆的半径为，内切圆半径为．（5）等边三角形内切圆半径，外接圆半径分别为Rr,，则Rr:=．（6）圆外切等腰梯形底角为60，腰长为10，则圆的半径长为．（7）等边三角形一边长为2，则其内切圆半径等于．（8）...