上海高中数学-复数讲义VIP专享VIP免费

复数一、知识点梳理：1、i的周期性：i4=1，所以，i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1nZ44142430nnnniiiinZ2、复数的代数形式：,abiabR，a叫实部，b叫虚部，实部和虚部都是实数。|,CabiabR叫做复数集。NZQRC.3、复数相等：abicdiac且b=d；00abia且b=04、复数的分类：0,0)0)0,0)Zabiaa实数(b=0)复数一般虚数(b虚数(b纯虚数(b虚数不能比较大小，只有等与不等。即使是3,62ii也没有大小。5、复数的模：若向量uurOZ表示复数z，则称uurOZ的模r为复数z的模，22||zabiab；积或商的模可利用模的性质（1）112nnzzzzzLL，（2）112220zzzzz6、复数的几何意义：复数,zabiabR一一对应复平面内的点(,)Zab,ZabiabRuur一一对应复数平面向量OZ，7、复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，其中x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数8、复数代数形式的加减运算复数z1与z2的和：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.,,,abcdR复数z1与z2的差：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.,,,abcdR复数的加法运算满足交换律和结合律数加法的几何意义：复数z1=a+bi，z2=c+di,,,abcdR；OZ=1OZ+2OZ=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)＝(a+c)+(b+d)i复数减法的几何意义：复数z1-z2的差(a－c)+(b－d)i对应由于1212ZZOZOZuururuuuuruuuur，两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.9.特别地，ABzuuurzB－zA.，BAABzABzzuuur为两点间的距离。12||||zzzzz对应的点的轨迹是线段12ZZ的垂直平分线；0||zzr，z对应的点的轨迹是一个圆；1212||||22zzzzaZZa，z对应的点的轨迹是一个椭圆；1212||||22zzzzaZZa，z对应的点的轨迹是双曲线。10、显然有公式：12121222221212122zzzzzzzzzzzz11、复数的乘除法运算：复数的乘法：z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.,,,abcdR复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。实数集R中正整数指数的运算律,在复数集C中仍然成立.即对z1,z2,z3∈C及m,n∈N*有:zmzn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1z2)n=z1nz2n.复数的除法：12zz(a+bi)(c+di)=dicbia=2222acbdbcadicdcd,,,abcdR，分母实数化是常规方法12、共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数；,,zabizabiabR，两共轭复数所对应的点或向量关于实轴对称。22||zzab2222,zzabRzzzz，111212121222,,zzzzzzzzzzzz13、熟记常用算式：1ii，ii2)1(2，ii2)1(2，iii11，iii1114、复数的代数式运算技巧：（1）①ii2)1(2②ii2)1(2③iii11④iii11（2）“1”的立方根i2321的性质：①13②2③012④11⑤115、实系数一元二次方程的根问题：（1）当042acb时，方程有两个实根21,xx。（2）当042acb时，方程有两个共轭虚根，其中21xx。此时有acxxxx212221且aibx22,1。注意两种题型：21xx(1)21xx(2)虚系数一元二次方程有实根问题：不能用判别式法，一般用两个复数相等求解。但仍然适用韦达定理。已知12xx是实系数一元二次方程0cbxax2的两个根，求12xx的方法：（1）当042acb时，aacbxxxxxx44)(22122112(2)当042acb时，abacxxxxxx2212211244)(已知21x,x是实系数一元二次方程0cbxax2的两个根，求12xx的方法：（1）当042acb时，①,021xx即0ac，则abxxxx2112②,021xx即0ac，则aacbxxxxxxxx44)(2212212112（2）当042acb时，acxxxxx22221112二、典例分析：例1．（1）复数(1+i)21－i等于()A.1－iB.1+iC.－1+iD.－1－i解析:复数(1+i)21－i=2(1)11iiiii，选C．（2）若复数z同时满足z－z＝2i，z＝iz（i为虚数单位），则z＝．解：已知2211iZiZiZii；（3）设a、b、c、d∈R，则复数(a+bi)(c+di)为实数的充要条件是A.ad－bc=0B.ac－bd=0C.ac+bd=0D.ad+bc=0解析：（1）,,,abcR复数()()abicdi=()()acbdadbci为实数，∴0adbc，选D；（4）已知niminmniim是虚数单位，则是实数，，，其中11（）(A)1+2i(B)1－2i(C)2+i(D)2－i解析：innmniim1111，由m、n是实数，得mnn101，∴inimmn221，故选择C。（5）设,xy为实数，且511213xyiii，则xy。解析：(1)(12)2()()112252525xyxiyixyxyiii，而55(13)13131022iii所以123252252xyxy且，解...