[人教A版教学设计]3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式广州市第三中学数学科刘窗洲一、教学目标：1、培养学生利用化归思想(指将一般化归为特殊)导出倍角公式，了解倍角公式与两角和公式的内在联系并熟练倍角公式结构。2、领会重点与难点，包括倍角公式的形成和公式的变形(突出的两种变形)并理解倍角的相对性。3、会利用倍角公式进行求值运算、化简，培养学生运算、分析和逻辑推理能力。二、重点与难点：1、重点是二倍角的正弦、余弦、正切公式。2、难点是倍角公式的形成及公式的变形。三、教学过程(师生互动):1、公式的导出：(先与学生一起复习两角和的正弦、余弦、正切公式，以达到温故而知新。)☆复习回顾：我们已经学习了和角公式，还掌握了和角公式与差角公式可以互相化归。那么，如何把和角公式化归为二倍角公式呢?现在研究二倍角，线索是两角和的正弦、余弦、正切公式，请同学们自己先试一试发现“二倍角”与“两角和”的内在联系。让学生领悟到：☆举一例引导化归思想：★★★(★表示任意角)当取特殊角时，上述公式表示为:即：，接着依此类推让学生自行动手体会由一般过渡到特殊的化归思想。第1页☆双向沟通：(请把化归的结果填入下面的式中)简记：简记：且简记：我们发现公式的右边既有也有，假设已知的值，要求的值，就必然要再求到的值，然后再代入公式求解。如果每次都如此，则会变得工作重复，试问是否可通过公式变形用或来单独表示以达到公式简洁，从而避免重复工作，提高解题速度。利用，公式还可以变形为：或☆阶段小结：倍角公式与两角和公式的内在联系是：令=(实现一般化归为特殊)。上面这些公式都叫做倍角公式。有了倍角公式，就可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数。让同学们自己填写公式，是为了使大家学会怎样去发现数学规律，并体会化归(这里是将一般化归为特殊)这一基本数学思想所起的作用。2、公式的运用：☆师生互动：教师在黑板上板书且同时启发学生注意公式结构中等号两边角度倍数的对比、系数的对比、幂次数的对比学生思考并回答问题以达到熟练公式结构的目的。注意以下题组的变化：(让学生自己发现变化之处)第2页在以上问题中主要突出的是倍角的相对性，以及公式左右两边的角的变化。为了进一步巩固所学公式与更深入熟练地掌握公式变形，特意由浅入深设计三个梯度的课堂练习以达到相关目的。☆梯度一：(熟练公式结构)（1）(公式的逆用)（2）(公式的逆用)（3）(公式的逆用)（4）(公式的逆用)（5）(公式的逆用)☆梯度二：(倍角的相对性)(1)(2)(3)(公式的逆用伴有系数的变化)(4)(公式的逆用伴有系数的变化)(5)(公式的逆用伴有系数的变化)(6)(公式的逆用)☆梯度三：(公式的灵活运用)（1）(分析：先引导学生观察分析正弦的二倍角公式的右边为即一个正弦、一个余弦，而本题为两个正弦且角度也不同，提醒学生进行思考且注意变形手段，变成角度相同且一个正弦、一个余弦再求值。)第3页(2)(分析：引导学生观察分析，此题设计的目的是让学生学会构造法与滚雪球法，体会公式的灵活多变，发现数学美。)解：原式（3）(此题留为课后练习，让学生进一步思考。)☆经过三个梯度的训练，学生对公式的结构与公式的应用达到基本熟练之后，下一步应该提供机会让学生利用倍角公式进行求值运算、化简，以培养学生运算、分析和逻辑推理能力，这也正是本课时的教学目标之一与难点之一。3、典型例题:☆例1、已知，，求，，的值?[分析]本题求值时，由于运用了公式，所以要根据角的范围确定取哪一个平方根。另外，在求值时，应使用公式的三种等价式中的:.因为本题在前几节书中类似问题曾在多处出现，故可将详细解题步骤用实物投影展示给学生，以节约课堂时间。解： ，(角的范围目的在于确定的正负取值)∴∴(公式有三种选择，应以方便计算为出发点)第4页本题结束后，可考虑将原题进行如下一组变换:☆变式1、已知，，求，，的值?☆变式2、已知，，求，，的值?(以上题组学生能口述解答方法即可，目的是训练并提高学生灵活选择公式的能力)☆例2、化简:,.[分析]本题要化简，则根号里面必须产生某式的平方，启发学生联想到有没有一个公式右边能产生平方。一旦学生联想到余弦的二倍...
