初高中衔接教材一元二次方程根与系数的关系第三讲一元二次方程根与系数的关系现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述．一、一元二次方程的根的判断式一元二次方程，用配方法将其变形为：(1)当时，方程有两个不相等的实数根：；(2)当时，方程有两个相等的实数根：；(3)当时，方程没有实数根．由于可以用的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把叫做一元二次方程的根的判别式：.【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：(1)(2)(3)解：(1)，∴原方程有两个不相等的实数根．(2)原方程可化为：，∴原方程有两个相等的实数根．(3)原方程可化为：，∴原方程没有实数根．说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．【例2】已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围：(1)方程有两个不相等的实数根；(2)方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根；(4)方程无实数根．解：.(1)；(2)；(3)；(4)．【例3】已知实数、满足，试求、的值．解：把方程看作是关于的方程，整理得：.由于是实数，所以此方程有实数根，因此：，代入原方程得：．综上知：.二、一元二次方程的根与系数的关系-1-初高中衔接教材一元二次方程根与系数的关系一元二次方程的两个根为：.所以：，.定理：如果一元二次方程的两个根为，那么：.说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为韦达定理．上述定理成立的前提是．【例4】若是方程的两个根，试求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．解：由题意，由根与系数的关系得：.(1).(2).(3).(4).说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：，，，，，等等．韦达定理体现了整体代换思想．【例5】已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．解：法一设这两个数分别是，，则或.因此，这两个数是－2和6．法二由韦达定理知，这两个数是方程2－4－12＝0的两个根．解方程得：1＝－2，2＝6．所以，这两个数是－2和6．【例6】已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值．(1)方程两实根的积为5；(2)方程的两实根满足．解：.-2-初高中衔接教材一元二次方程根与系数的关系(1).所以，当时，方程两实根的积为5．(2)由得知：①当时，；②当时，，不合题意，舍去．综上可知，时方程的两实根满足．说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足．【例7】已知是一元二次方程的两个实数根．(1)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请您说明理由．(2)求使的值为整数的实数的整数值．解：∵一元二次方程有两个实数根.∴.(1)假设存在实数，使成立．∴，但．∴不存在实数，使成立．(2)∵.∴要使其值是整数，只需能被4整除，故，注意到，要使的值为整数的实数的整数值为．-3-
