数列与不等式的交汇VIP免费

数列与不等式的交汇(2)高考考纲解读（个人见解）•数列是一种特殊函数，是刻画离散过程的重要数学模型。数列、不等式是高中数学的主干知识，是高考的重点内容之一，也是高考的热点。其中，选择题和填空题一般以考查基础知识、基本方法为主，而解答题以考查数学思想方法、思维能力、以及创新意识为主。高考中以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，考查等价转化、分类讨论、函数等数学思想方法。对不等式的证明常用到比较法、放缩法、数学归纳法等，总体来看，本节内容对运算能力和逻辑推理能力有较高的要求，试题新颖，难度较大。数列与不等式的综合问题考查有：①判断数列问题中的一些不等关系；②以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；③考查与数列问题有关的不等式的证明问题；④有关的最值问题.二、[例1]已知等比数列{an}满足an＋1＋an＝9·2n－1，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{an}的前n项和为Sn，若不等式Sn>kan－2对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．解：(1)设等比数列{an}的公比为q，∵an＋1＋an＝9·2n－1，n∈N*，∴a2＋a1＝9，a3＋a2＝18，∴q＝a3＋a2a2＋a1＝189＝2，∴2a1＋a1＝9，∴a1＝3.∴an＝3·2n－1，n∈N*，经验证，满足题意．(2)由(1)知Sn＝a11－qn1－q＝31－2n1－2＝3(2n－1)，∴3(2n－1)>k·3·2n－1－2，∴k<2－13·2n－1.令f(n)＝2－13·2n－1，则f(n)随n的增大而增大，∴f(n)min＝f(1)＝2－13＝53.∴k<53.∴实数k的取值范围为－∞，53.[例2]已知等比数列{an}满足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125.(1)求数列{an}的通项公式；(2)是否存在正整数m，使得1a1＋1a2＋…＋1am≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．(1)设等比数列{an}的公比为q，则由已知可得a31q3＝125，|a1q－a1q2|＝10，解得a1＝53，q＝3，或a1＝－5，q＝－1.故an＝53·3n－1，或an＝－5·(－1)n－1.(2)若an＝53·3n－1，则1an＝35·13n－1，故1an是首项为35，公比为13的等比数列，从而n＝1m1an＝35·1－13m1－13＝910·1－13m<910<1.若an＝－5·(－1)n－1，则1an＝－15(－1)n－1，故1an是首项为－15，公比为－1的等比数列，从而n＝1m1an＝－15，m＝2k－1k∈N*，0，m＝2kk∈N*，故n＝1m1an<1.综上，对任何正整数m，总有n＝1m1an<1.故不存在正整数m，使得1a1＋1a2＋…＋1am≥1成立．谢谢