证明三角形全等的常见思路全等三角形是初中几何的重要内容之一，全等三角形的学习是几何入门最关键的一步，这部分内容学习的好坏直接影响着今后的学习．而一些初学的同学，虽然学习了几种判定三角形全等的公理和推论，但往往仍不知如何根据已知条件证明两个三角形全等．通过对以下几种证明三角形全的分析，体会常见思路。知识点睛全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，（对应线段相等）对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边．(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角．(3)有公共边的，公共边常是对应边．(4)有公共角的，公共角常是对应角．(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．全等三角形的判定方法：(1)边角边定理(SAS)：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．(2)角边角定理(ASA)：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．(3)边边边定理(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等．(4)角角边定理(AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．(5)斜边、直角边定理(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．2．证题的思路：全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线．一、已知一边与其一邻角对应相等1．证已知角的另一边对应相等，再用SAS证全等．例1已知：如图1，点E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C.求证：AF=DE．证明∵BE=CF(已知)，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE．在△ABF和△DCE中，第1页共4页∴△ABF≌△DCE(SAS)．∴AF=DE(全等三角形对应边相等)．2．证已知边的另一邻角对应相等，再用ASA证全等．例2已知：如图2，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB．求证：AE=CE．证明∵FC∥AB(已知)，∴∠ADE=∠CFE(两直线平行，内错角相等)．在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE(ASA).∴AE=CE(全等三角形对应边相等)3．证已知边的对角对应相等，再用AAS证全等．例3(同例2).证明∵FC∥AB(已知)，∴∠A=∠ECF(两直线平行，内错角相等).在△ADE和△CFE中，∴△ADE≌△CFE(AAS).∴AE=CE(全等三角形对应边相等)．二、已知两边对应相等1．证两已知边的夹角对应相等，再用SAS证等．例4已知：如图3，AD=AE，点D、E在BC上，BD=CE，∠1=∠2．求证：△ABD≌△ACE证明∵∠1=∠2(已知)，∠ADB=180°-∠1，∠AEC=180°-∠2(邻补角定义)，∴∠ADB=∠AEC，在△ABD和△ACE中，第2页共4页∴△ABD≌△ACE(SAS).2．证第三边对应相等，再用SSS证全等．例5已知：如图4，点A、C、B、D在同一直线上，AC=BD，AM=CN，BM=DN．求证：AM∥CN，BM∥DN．证明∵AC=BD(已知)∴AC+BC=BD+BC，即AB=CD.在△ABM和△CDN中，∴△ABM≌△CDN(SSS)∴∠A=∠NCD，∠ABM=∠D(全等三角应角相等)，∴AM∥CN，BM∥DN(同位角相等，两直线平行)．三、已知两角对应相等1．证两已知角的夹边对应相等，再用ASA证全等．例6已知：如图5，点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE，∠B=∠E，∠ACB=∠DFE.求证：AB=DE，AC=DF.证明∵FB=CE(已知)∴FB+FC=CE+FC，即BC=EF，∴△ABC≌△DEF(ASA).∴AB=DE，AC=DF(全等三角形对应边相等)2．证一已知角的对边对应相等，再用AAS证全等．例7已知：如图6，AB、CD交于点O，E、F为AB上两点，OA=OB，OE=OF，∠A=∠B，∠ACE=∠BDF.求证：△ACE≌△BDF.证明∵OA=OB，OE=OF已知)，∴OA-OE=OB-OF，即AE=BF，第3页共4页在△ACE和△BDF中，∴△ACE≌△BDF(AAS).四、已知一边与其对角对应相等，则可证另一角对应相等，再利用AAS证全等例8已知：如图7，在△ABC中，B、D、E、C在一条直线上，AD=AE，∠B=∠C．求证：△ABD≌△ACE.证明∵AD=AE(已知)∴∠1=∠2(等边对等角)，∵∠ADB=∠180°-∠1，∠AEC=180°-∠2(邻补角定义)，∴∠ADB=∠AEC，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE(AAS).第4页共4页
