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-1-第二讲证明不等式的基本方法——比较法黄石市第六中学高红梅XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页学习目标思维脉络1.理解不等式证明的作差比较法和作商比较法.2.理解运用比较法证明不等式的技巧.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页1231.比较法的种类比较法一般分为两种:作差比较法和作商比较法.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页1232.作差比较法(1)作差比较法的证明依据:①ab⇔a-b>0.(2)基本步骤:①作差;②变形;③判断符号;④下结论.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页1233.作商比较法(1)作商比较法的证明依据:当a,b>0时,ەۖ۔ۖۓ𝑎=𝑏⇔𝑎𝑏=1,𝑎>𝑏⇔𝑎𝑏>1,𝑎<𝑏⇔𝑎𝑏<1.(2)基本步骤:①作商;②变形;③判断与“1”的大小;④下结论.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页(1)求证:a2＋b2≥2(a－b－1)；(2)已知a,b都是正数，并且a≠b,求证：a5+b5>a2b3+a3b2[精讲详析]本题考查作差比较法的应用．解答本题的步骤为作差→配方→判断符号→得出结论．(1)证明:a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)．探究一探究二【例1】（2）已知都是正数，并且，,abab求证：552332ababab证明：552332()()ababab532523()()aabbab322322()()aabbab2233()()abab222()()()ababaabb∵,ab都是正数，∴220,0abaabb又∵2,()0abab222()()()0ababaabb即：552332ababab本题变形的方法—因式分解法XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二【例2】已知a≥1,求证:ξ𝑎+1−ξ𝑎<ξ𝑎−ට𝑎-1.分析：因不等式的两边进行分子有理化相减后,可判断差的符号,故可用作差比较法进行证明.证明：∵(ξ𝑎+1−ξ𝑎)−(ξ𝑎−ට𝑎-1)=1ξ𝑎+1+ξ𝑎−1ξ𝑎+ට𝑎-1=ξ𝑎-1-ξ𝑎+1(ξ𝑎+1+ξ𝑎)(ξ𝑎+ξ𝑎-1)<0,∴ξ𝑎+1−ξ𝑎<ξ𝑎−ξ𝑎-1.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页思考：例2能用作商比较法吗？XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页探究一探究二【例2】已知a≥1,求证:ξ𝑎+1−ξ𝑎<ξ𝑎−ට𝑎-1.证明：因为a≥1,ඥa+1−ξa>0,ξa−ඥa−1>0ξa+1−ξaξa−ξa−1=ξa+ξa−1ξa+1+ξa<1所以ξa+1−ξa<ξa−ξa−1XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页【例3】若a>b>0,证明ab·bab>0,所以0<𝑏𝑎<1,a-b>0.所以ቀ𝑏𝑎ቁ𝑎-𝑏<1,故ab·ba0,y>0,求证...A.P>QB.P≥QC.PQB.P≥QC.P0,y>0,求证𝑥𝑥+1<𝑥+𝑦𝑥+𝑦+1.证明：𝑥𝑥+1−𝑥+𝑦𝑥+𝑦+1=𝑥(𝑥+𝑦+1)-(𝑥+1)(𝑥+𝑦)(𝑥+1)(𝑥+𝑦+1)=-𝑦(𝑥+1)(𝑥+𝑦+1),因为x>0,y>0,所以(x+1)(x+y+1)>0.于是-𝑦(𝑥+1)(𝑥+𝑦+1)<0,故𝑥𝑥+1<𝑥+𝑦𝑥+𝑦+1.XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页小结：1.比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法，用比较法证明不等式的步骤是：作差（作商）—变形—判断符号（判断与1的关系）2.在作差比较法中,变形的目的在于判断差的符号，作差的结果要很容易的看出和0的大小关系，在作商比较法中，变形的目的在于判断商和1的大小，作商的结果要很容易的看出和1的大小关系3.变形所用的方法有配方、因式分解，通分，分子分母有理化等,要具体情况具体分析.

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-1-第二讲证明不等式的基本方法——比较法黄石市第六中学高红梅XINZHIDAOXUE新知导学DANGTANGJIANCE当堂检测DAYIJIEHUO答疑解惑首页学习目标思维脉络1

理解不等式证明的作差比较法和作商比较法

理解运用比较法证明不等式的技巧

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(2)基本步骤:①作差;②变形;③判断符号;④下结论

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