一次函数复习目标：1．经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程，体会函数及变量思想，进一步发展抽象思维能力；经历一次函数的图象及其性质的探索过程，在合作与交流活动中发展合作意识和能力．2．经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程，发展数学应用能力；经历函数图象信息的识别与应用过程，发展形象思维能力．3．初步理解一次函数的概念；理解一次函数及其图象的有关性质；初步体会方程和函数的关系．4．能根据所给信息确定一次函数表达式；会作一次函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题．知识梳理1.正比例函数与一次函数的关系正比例函数是当y=kx+b中b=0时特殊的一次函数.2.待定系数法确定正比例函数、一次函数的解析式通常已知一点便可用待定系数法确定出正比例函数的解析式,已知两点便可确定一次函数解析式.3.一次函数的图象正比例函数y=kx(k≠0)是过(0,0),(1,k)两点的一条直线;一次函数y=kx+b(k≠0)是过(0,b),(,0)两点的一条直线.4.直线y=kx+b(k≠0)的位置与k、b符号的关系当k>0是直线y=kx+b过第一、三象限,当k<0时直线过第二、四象限;b决定直线与y轴交点的位置,b>0直线交y轴于正半轴,b<0直线交y轴于负半轴.5.直线L1与L2的位置关系由k、b来确定当直线L1∥L2时k相同b不同;当直线L1与L2重合时k、b都相同;当直线L1与L2相交于y轴同一点时,k不同b相同.6.一次函数经常与一次方程、一次不等式相联系题型例析1.一次函数的图象例1(2003·福州)如果直线y=ax+b经过第一、二、三象限,那么ab____0(填“>”、“<”、“=”).分析:已知直线y=ax+b经过第一、二、三象限,可先画出草图,由图可知a>0,b>0或根据直线y=kx+b中当k>0直线过第一、三象限,b>0时交y轴于正半轴来判断.解:由题意可画出草图,由图可知a>0,b>0,∴ab>0,故答案为>.答案:>.点评:解决此题的关键是明确一次函数y=kx+b中k、b的符号与直线的位置之间的关系,并学会应用数形结合的数学思想方法.2.一次函数的性质例2(2003·甘肃)一次函数的图象过点(1,2),且y随x的增大而增大,则这个函数解析式是________.分析:由一次函数图象过点(1,2),可先设出解析式为y=kx+b(或y=kx)将点(1,2)代入其解析式.但函数y随自变量x的增大而增大,这一条件不能丢.解:(1)设一次函数解析式为y=kx+b(或y=kx)(k≠0)y随自变量x的增大而增大,则k>0,将(1,2)代入y=kx+b,得2=k+b,即k=2-b.不妨取k=1,得b=1.∴解析式为y=x+1;取k=2,得b=0,∴解析式为y=2x;取k=3,得b=-1,∴解析式为y=3x-1;…∴满足条件的解析式有无数个,故答案为:y=x+1或y=2x或y=3x-1等等.点评:本题中是确定解析式的开放性的题目,解决此类题目的关键是抓准已知条件中函数的性质来思考.3.一次函数的应用例4(2003·哈尔滨)如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象(分别是正比例函数图象和一次函数图象).根据图象解答下列问题:(1)请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式(不要求写出自变量的取值范围;(2)轮船和快艇在途中(不包括起点和终点)行驶的速度分别是多少?(3)问快艇出发多长时间赶上轮船?分析:由已知条件可设两条直线分别为y=k1x(k1≠0)或y=k2x+b(k2≠0),然后根据图象给出的点的坐标,利用“待定系数法”可确定(1)中的两条直线;(2)由图可得轮船8h行160km,快艇4h行160km,分别求其速度;(3)根据追及问题中“快者路程-相距路程=慢者路程”可求解.解:(1)设表示轮船行驶过程的函数解析式为y=kx,由图象知:当x=8时,y=160.∴8k=160,解得k=20.∴表示轮船行驶过程的函数解析式为y=20x.设表示快艇行驶过程的函数解析式为y=ax+b.由图象知:当x=2时,y=0;当x=6时,y=160.∴解得∴表示快艇行驶过程的函数解析式为y=40x-80.(2)由图象可知,轮船在8h内行驶了160km,快艇在4h内行驶了160km,故轮船在途中的行驶速度为=20(km/h),快艇在途中行驶速度为=40(km/h).(3)设轮船出发xh快艇赶上轮船.20x=40x-80,x=4,∴x-2=4-2=2.答:快艇出发2h赶上轮船.快艇轮船(h)(km)2040608010012014016087654321o点评:本题主要通过一次函数图象与坐标轴的交点的意义来解决实际问题,因此弄清交点的意义是关键,然后用待定系数法求函数解析式.
