高中数学 第2章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.2 间接证明自主练习 苏教版选修1-2-苏教版高二选修1-2数学试题VIP免费

2.2.2间接证明自主广场我夯基我达标1.实数a、b、c不全为0的条件为（）A.a、b、c均不为0B.a、b、c中至多有一个为0C.a、b、c中至少有一个为0D.a、b、c中至少有一个不为0思路解析:实数a、b、c不全为0的条件是a、b、c至少有一个不为0.答案:D2.x、y←R，且x2+y2=1，则（1-xy）（1+xy）有（）A.最小值43，无最大值.B.最小值1，无最大值.C.最小值21，最大值1D.最大值1，最小值43思路解析:设x=cosα,y=sinα,则(1-xy)(1+xy)=(1-sinαcosα)(1+sinαcosα)=1-sin2αcos2α=1-41sin22α. sin22α∈［0,1］,∴(1-xy)(1+xy)∈［43，1］.答案:D3.设a、b、c都是正数，则三个数a+b1，b+c1，c+a1（）A.都大于2B.至少有一个大于2C.至少有一个不小于2D.至少有一个不大于2思路解析: a+b1+c1+c+b+a1=a+a1+b+b1+c+c1≥2+2+2=6.所以a、b、c中至少有一个大于2.答案:B4.已知a、b、c都是正数，S=bdcdadccdbabcbaa，则有（）A.0＜S＜1B.1＜S＜2C.2＜S＜3D.3＜S＜4思路解析:S＞dcbaddcbacdcbabdcbaa=1,且S＜dcddccbabbaa=2.∴1＜S＜2.答案:B5.求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.证明：假设△ABC的三个内角A，B，C都小于60°,即∠A＜60°,∠B＜60°,∠C＜60°.相加得∠A+∠B+∠C＜180°.这与三角形内角和定理矛盾，所以∠A,∠B,∠C都小于60°的假设不能成立,从而一个三角形中，至少有一个内角不小于60°.16.求证：当x2+bx+c2=0有两个不相等的非零实数根时，bc≠0.证明：假设bc=0,则有三种情况出现：（1）若b=0,c=0方程变为x2=0,x1=x2=0是方程x2+bx+c2=0的根，这与已知方程有两个不相等的实根相矛盾.（2）若b=0,c≠0,方程变为x2+c2=0,但当c≠0时，x2+c2=0;但c≠0时，x2+c2≠0与x2+c2=0矛盾,（3）若b≠0,c=0,方程变为x2+bx=0,方程的根为x1=0,x2=-b.这与已知条件方程有两个非零实根相矛盾.综上所述，bc≠0.7.证明：1，3，2不能为同一等差数列的三项.证明：假设1，3，2是某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为d,则1=3-md，2=3+nd，其中m、n为某两个正整数，由上面两式消去d,得n+2m=(m+n)3，因为n+2m为有理数，而（m+n)3为无理数，所以2m+n≠3(m+n)，因此，假设不成立，即1，3，2不能为同一等差数列的三项.8.平面上有四个点，设有三点共线.证明：以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形.证明：假设以每三个点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为A、B、C、D.考虑点D在△ABC之内或之外有两种情况：（1）如果点D在△ABC之内，（如图（1）），根据假设围绕点D的三个角都是锐角，其和小于270°，这与一个周角等于360°矛盾.（2）如果点D在△ABC之外（如图（2）），根据∠A、∠B、∠C、∠D都大于90°，这和四边形ABCD的内角和为360°相矛盾.综上所述，假设不成立，从而题目中的结论成立.9.已知a≠0,证明关于x的方程ax=b有且只有一个根.证明：由于a≠0，因此方程至少有一个根x=ab,如果方程不是一个根，不妨设x1、x2是它的两个不同根，即ax1=b，①ax2=b，②①-②得a(x1-x2)=0.因为x1≠x2，所以x1-x2≠0，所以应有a=0，这与已知相矛盾，故假设不成立.所以当a≠0时，方程ax=b有且只有一个根.10.（精典回放）设y=f(x)是定义在区间［-1，1］上的函数，且满足条件：①f(-1)=f(1)=0;②对任意的μ、v∈［-1,1］,都有｜f(u)-f(v)｜≤｜μ-v｜(1)证明：对任意的x∈［-1,1］,都有x-1≤f(x)≤1-x;(2)证明：对任意的μ、v∈［-1,1］,都有｜f(u)-f(v)｜≤1;2(3)在区间［-1，1］上是否存在满足题设条件的奇函数y=f(x),且使得：｜f(μ)-f(v)｜＜｜μ-v｜，当μ、v∈［0,21］.｜f(μ)-f(v)｜＜｜μ-v｜,当μ、v∈［21,1］.若存在，请举一例；若不存在，请说明理由.（1）证明：由题设条件可知，当x∈[-1,1]时，有|f(x)|=|f(x)-f(1)|≤|x-1|=1-x.即：x-1≤f(x)≤1-x.（2）证明：对任意的u、v∈[-1，1].当|u-v|≤1时，有|f(u)-f(v)|≤|u-v|≤1.当|u-v|＞1时，有u·v＜0，不妨设u＜0，则v＞0,且v-u＞1,所以|f(u)-f(v)|≤|f(u)-f(-1)|+|f(v)-f(1)|≤|u+1|+|v-1|=1+u+1-v=2-(v-u)＜1.综上可知：对任意的u、v∈[-1,1]，都有|f(u)-f(v)|≤1....