2.2.1向量加法运算及其几何意义1.设O是正方形ABCD的中心,则向量,,,是(D)(A)相等的向量(B)平行的向量(C)有相同起点的向量(D)模相等的向量解析:这四个向量的模相等.故选D.2.点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点,则++等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:因为点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点,则++=+=.故选A.3.平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O,则(C)(A)+=(B)+=(C)+=(D)+=解析:如图所示,因为平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O,所以+=,选项A错;+与方向不同,则B错;+=,又=,则C正确;+=,所以D错.故选C.4.如图所示,在正六边形ABCDEF中,若AB=1,则|++|等于(B)1(A)1(B)2(C)3(D)2解析:由正六边形知=,所以++=++=,所以|++|=||=2.故选B.5.下列与向量+相等的是(A)(A)++(B)+(C)+(D)+解析:+=,只有A项中满足.故选A.6.在▱ABCD中,设=a,=b,=c,=d,则下列等式中不成立的是(C)(A)a+b=c(B)a+d=b(C)b+d=a(D)|a+b|=|c|解析:由向量加法的平行四边形法则,知a+b=c成立,故|a+b|=|c|也成立;由向量加法的三角形法则,知a+d=b成立,则b+d=a不成立.故选C.7.设a=(+)+(+),b是任一非零向量,则在下列结论中,正确的是(C)①a∥b;②a+b=a;③a+b=b;④|a+b|<|a|+|b|;⑤|a+b|=|a|+|b|.(A)①②(B)①③(C)①③⑤(D)②④⑤解析:a=(+)+(+)=+++=0,易知①③⑤正确.故选C.28.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足+=,则下列结论中正确的是(D)(A)P在△ABC的内部(B)P在△ABC的边AB上(C)P在AB边所在的直线上(D)P在△ABC的外部解析:如图,由+=可得四边形PBCA为平行四边形,所以点P在△ABC的外部.故选D.9.在边长为1的正方形ABCD中,|+|=.解析:在边长为1的正方形ABCD中,+=,||=,所以|+|=.答案:10.如图,在平行四边形ABCD中,(1)+=;(2)++=;(3)++=.答案:(1)(2)(3)311.在矩形ABCD中,||=,||=1,则向量的模等于.解析:在矩形ABCD中,||=====2.答案:212.已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则AB与AC的夹角为.解析:由=(+)可知O为BC的中点,即BC为圆O的直径,又因为直径所对的圆周角为直角,所以∠BAC=90°,所以AB与AC的夹角为90°.答案:90°13.化简:(1)+;(2)++;(3)++++.解:(1)+=+=.(2)++=++=(+)+=+=0.(3)++++=++++=+++=++=+=0.14.已知矩形ABCD中,宽为2,长为2,=a,=b,=c,试作出向量a+b+c,并求出其模的大小.解:a+b+c=++=2=2c,作=,如图,4则a+b+c=,所以|a+b+c|=|2|=2=8.15.如图,在重300N的物体上拴两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30°,60°,当整个系统处于平衡状态时,求两根绳子的拉力.解:如图,作▱OACB,使∠AOC=30°,∠BOC=60°,则∠ACO=∠BOC=60°,∠OAC=90°.设向量,分别表示两根绳子的拉力,则表示物体所受的重力,且||=300N.所以||=||cos30°=150(N),||=||cos60°=150(N).所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150N,与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150N.16.已知a,b,c是非零向量,则(a+c)+b,b+(a+c),b+(c+a),5c+(a+b),c+(b+a)中,与向量a+b+c相等的个数为(A)(A)5(B)4(C)3(D)2解析:由于平面向量的加法满足交换律和结合律,因此向量(a+c)+b,b+(a+c),b+(c+a),c+(a+b),c+(b+a)与向量a+b+c都相等,故选A.17.向量a,b皆为非零向量,下列说法不正确的是(B)(A)向量a与b反向,且|a|>|b|,则向量a+b的方向与a的方向相同(B)向量a与b反向,且|a|<|b|,则向量a+b的方向与a的方向相同(C)向量a与b同向,则向量a+b的方向与a的方向相同(D)向量a与b同向,则向量a+b的方向与b的方向相同解析:a与b反向且|a|>|b|时,a+b的方向与a的方向相同.故选B.18.已知G是△ABC的重心,则++=.解析:如图,延长AG交BC于E,则E是BC中点,再延长GE到D使GE=ED,连接BD,DC.则=,所以+==,所以++=+=0.答案:019.设M为平行四边形ABCD对角线的交点,O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点,则+++等于.解析:因为O为任意一点,不妨把A点看成O点,即+++=0+++,因为M是平行四边形对角线的交点,所以0+++=2=4.6答案:420.已知桥是南北方向,受落潮影响,海水以12.5km/h的速度向东流,现有一艘工作艇,在海面上航行检查桥墩的状况,已知艇的速度是25km/h,若艇要沿着与桥平行的方向由南向北航行,则艇的航向如何确定?解:如图所示,设表示水流速度,表示工作艇的速度,表示工作艇的实际速度.因为=+,所以四边形ABCD为平行四边形.在Rt△ACD中,∠ACD=90°,||=||=12.5,||=25,所以∠CAD=30°.故若艇要沿着与桥平行的方向由南向北航行,其航向应为北偏西30°.78
