《1.5.1-柱坐标系》导学案1VIP专享VIP免费

《1.5.1柱坐标系》导学案1学习目标1．了解在柱坐标系中刻画空间点的位置的方法．2．掌握点的坐标系之间的互化，并能解决简单的实际问题．学习重点了解在柱坐标系中刻画空间点的位置的方法．学习难点运用柱坐标系解决问题.学习过程一、知识导入1．柱坐标系在平面极坐标系的基础上，通过极点O，再增加一条与极坐标系所在平面垂直的z轴，这样就建立了柱坐标系(如图)．设M(x，y，z)为空间一点，并设点M在xOy平面上的投影点P的极坐标为(r，θ)，则这样的三个数r，θ，z构成的有序数组(r，θ，z)就叫作点M的______，这里规定r，θ，z的变化范围为0≤r＜＋∞，0≤θ＜2π，－∞＜z＜＋∞.特别地，r＝常数，表示的是以z轴为轴的______；θ＝常数，表示的是过z轴的______；z＝常数，表示的是与xOy平面平行的____．显然，点M的直角坐标与柱坐标的关系为【做一做1－1】点A的柱坐标是，则它的直角坐标是__________．【做一做1－2】点B的直角坐标为(1，，4)，则它的柱坐标是__________．二、问题思考空间直角坐标系、柱坐标系都是刻画点的位置的方法，它们有什么联系和区别？剖析：在直角坐标系中，我们需要三个长度x，y，z；而在柱坐标系中，我们需要长度，还需要角度，它是从长度、方向来描述一个点的位置，需要r，θ，z.空间直角坐标：设点M为空间一已知点．我们过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴，它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为P，Q，R，这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x，y，z.于是空间的一点M就唯一地确定了一个有序数组(x，y，z)．这个组数(x，y，z)就叫做点M的坐标，并依次称x、y和z为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标．(如图所示)坐标为(x，y，z)的点M通常记为M(x，y，z)．这样，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M和有序数组(x，y，z)之间的一一对应关系．如果点M在yOz平面上，则x＝0；同样，zOx平面上的点，y＝0；xOy平面上的点，z＝0.如果点M在x轴上，则y＝z＝0；如果点M在y轴上，则x＝z＝0；如果点M在z轴上，则x＝y＝0.如果M是原点，则x＝y＝z＝0等．这两种三维坐标互相不同，互相有联系，互相能够转化，都是刻画空间一点的位置，只是描述的角度不同．答案：1．柱坐标圆柱面半平面平面rcosθrsinθ【做一做1－1】(，1,7)x＝rcosθ＝2·cos＝，y＝rsinθ＝2sin＝1，z＝7，∴点A的直角坐标为(，1,7)．【做一做1－2】x＝1＝rcosθ，y＝＝rsinθ，∴tanθ＝.∵0≤θ＜2π，x＞0，∴θ＝，r＝2，z＝4，∴点B的柱坐标为.2．球坐标以原点为球心的球面rsinφcosθrsinφsinθrcosφ三、典型例题柱坐标与直角坐标的互化【例1】将点M的直角坐标化为柱坐标，将点P的柱坐标化为直角坐标．(1)M(－1，，2)；(2)P.分析：利用相关公式代入进行转化求值．反思：已知直角坐标求柱坐标，可以先设出点M的柱坐标为(r，θ，z)，代入变换公式求r，也可以利用r2＝x2＋y2求r，利用tanθ＝求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值；已知柱坐标求直角坐标时，将r，θ，z的值代入变换公式即可．四、当堂练习1设点M的直角坐标为(1，3，9)，则它的柱坐标是()．A．π2,,93B．2π2,,93C．4π2,,93D．5π2,,932在球坐标系中，Mππ4,,46与Nπ24,,π43两点间的距离是__________．3设点A的柱坐标为π2,,64，则它的球坐标为__________．4用两个平行平面去截球，在两个截面圆上有两个点，它们分别为Aπ8,,4A、B3π8,,4B，求出这两个截面间的距离．五、课后作业