第一课时二维形式的柯西不等式[基础达标]1.设a＝(－2，1，2)，|b|＝6，则a·b的最小值为A.18B.6C.－18D.12解析∵|a·b|≤|a||b|，∴|a·b|≤18，∴－18≤a·b≤18，a·b的最小值为－18，故选C.答案C2.已知x＋y＝1，那么2x2＋3y2的最小值是A.B.C.D.解析2x2＋3y2＝[(x)2＋(y)2][()2＋()2]×≥(x＋y)2＝(x＋y)2＝.当且仅当2x＝3y，即x＝，y＝时等号成立.答案B3.函数y＝＋2的最大值是A.B.C.3D.5解析根据柯西不等式，知y＝1×＋2×≤×＝，当且仅当＝2，即x＝时，等号成立.答案B4.设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则的最小值为________.解析根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，的最小值为.答案5.设a、b∈R＋且a＋b＝2.求证：＋≥2.证明根据柯西不等式，有[(2－a)＋(2－b)]·＝[()2＋()2]≥＝(a＋b)2＝4，∴＋≥＝2，当且仅当·＝·，即a＝b＝1时等号成立.1∴原不等式成立.[能力提升]1.已知a>0，b>0，a，b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值是A.3B.4C.5D.6答案C2.已知2x2＋y2＝1，则2x＋y的最大值是A.B.2C.D.3解析2x＋y≤＝，故选C.答案C3.已知p，q∈R＋，且p3＋q3＝2，则p＋q的最大值为A.2B.8C.D.4答案A4.设a，b，c，d，m，n都是正实数，P＝＋，Q＝·，则P、Q间的大小关系为A.P＜QB.P≤QC.P＞QD.P≥Q答案B5.如果实数m，n，x，y满足m2＋n2＝a，x2＋y2＝b，其中a，b为常数，那么mx＋ny的最大值为A.B.C.D.解析由柯西不等式，得(mx＋ny)2≤(m2＋n2)(x2＋y2)＝ab，当m＝n＝，x＝y＝时，mx＋ny＝.答案B6.已知a、b、c都是正数，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式中正确的是A.(a＋b＋c)2≥3B.a2＋b2＋c2≥2C.＋＋≤2D.a＋b＋c≤答案A7.函数y＝3＋4的最大值为________.2解析∵y2＝(3＋4)2≤(32＋42)[()2＋()2]＝25(x－5＋6－x)＝25，当且仅当3＝4，即x＝时等号成立.∴函数y的最大值为5.答案58.已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________.解析根据二维形式的柯西不等式的代数形式知(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，可得(am＋bn)(bm＋an)＝(am＋bn)(an＋bm)≥(·＋·)2＝mn(a＋b)2＝2×1＝2，当且仅当＝，即m＝n＝时，取得最小值2.答案29.函数y＝＋的最大值为________.解析∵y＝＋，∴y＝1×＋×≤＝.答案10.已知a，b∈R＋，且a＋b＝1.求证：(ax＋by)2≤ax2＋by2.证明设m＝(x，y)，n＝(，)，则|ax＋by|＝|m·n|≤|m|·|n|＝·＝·＝，∴(ax＋by)2≤ax2＋by2.11.已知关于x的不等式|x＋a|
