多题一法专项训练(四)构造法一、选择题1．(2015·长春调研)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2，则数列{an}的通项公式为an＝()A．2×3n－1－1B．3n－1C．3n－2D．2n－12．(2015·威海一模)已知a＞1，设函数f(x)＝ax＋x－4的零点为m，g(x)＝logax＋x－4的零点为n，则mn的最大值为()A．8B．4C．2D．13．设l为直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l⊥α，l⊥β，则α∥βC．若l⊥α，l∥β，则α∥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β4．已知函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意的x∈R，f(x)＋f′(x)＞1恒成立，则不等式ex·f(x)＞ex＋1的解集为()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(－1，＋∞)D．(2，＋∞)5．方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内()A．没有根B．有且仅有一个根C．有且仅有两个根D．有无穷多个根6．(2015·怀化二模)设定义域为(0，＋∞)的单调函数f(x)对任意的x∈(0，＋∞)，都有f[f(x)－log2x]＝3，若x0是方程f(x)－f′(x)＝2的一个解，则x0存在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)二、填空题7．已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(xy)＝xf(y)＋yf(x)成立．数列{an}满足an＝f(2n)(n∈N*)，且a1＝2，则数列{an}的通项公式an＝________.8．若a1x≤sinx＜a2x对任意的x∈都成立，则a2－a1的最小值是________．9．(2015·金华十校联考)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________．10．(2015·江西八校联考)已知数列{an}，{cn}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1，cn＝.设数列{cn}的前n项和为Tn，若存在m使得Tn＞对任意的n∈N*都成立，则正整数m的最小值为________．三、解答题11.如图，已知抛物线C：y2＝4x，过点A(1,2)作抛物线C的弦AP，AQ.设直线PQ过点T(5，－2)，求以PQ为底边的等腰三角形APQ的个数．12．设f(x)＝ex－1.(1)当x>－1时，证明：f(x)>；(2)当a>ln2－1且x>0时，证明：f(x)>x2－2ax.答案1．选A由an＋1＝3an＋2得an＋1＋1＝3(an＋1)，∴＝3，当n＝1时，a1＋1＝2，∴{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＋1＝2×3n－1，an＝2×3n－1－1.2．选B令f(x)＝0，g(x)＝0，得ax＝4－x，logax＝4－x，因为y＝ax与y＝logax的图象关于直线y＝x对称，所以m，n关于两直线y＝x和y＝4－x交点的横坐标对称，则m＋n＝4，所以mn≤2＝4.3．解析：选B画出一个长方体ABCDA1B1C1D1.对于A，C1D1∥平面ABB1A1，C1D1∥平面ABCD，但平面ABB1A1与平面ABCD相交；对于C，BB1⊥平面ABCD，BB1∥平面ADD1A1，但平面ABCD与平面ADD1A1相交；对于D，平面ABB1A1⊥平面ABCD，CD∥平面ABB1A1，但CD⊂平面ABCD.4．选A构造函数g(x)＝ex·f(x)－ex，因为g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex＞ex－ex＝0，所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数．又g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)＞g(0)，得x＞0.5．选C求解方程|x|＝cosx在(－∞，＋∞)内根的个数问题，可转化为求解函数f(x)＝|x|和g(x)＝cosx在(－∞，＋∞)内的交点个数问题．由f(x)＝|x|和g(x)＝cosx的图象易知有两交点，即原方程有且仅有两个根．6．选B设f(x)－log2x＝t(t＞0)，则f(t)＝3，f(x)＝log2x＋t，所以log2t＋t＝3，易知方程log2t＋t＝3有唯一解t＝2，所以f(x)＝log2x＋2，f′(x)＝，令g(x)＝f(x)－f′(x)－2，则g(x)＝log2x－，易知函数g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，因为g(1)＝－＜0，g(2)＝＞0，所以x0存在的区间是(1,2)．故选B.7．解析：由题意知，an＋1＝f(2n＋1)＝2f(2n)＋2nf(2)＝2an＋2n＋1，则＝＋1，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以＝n，an＝n·2n.答案：n·2n8．解析：由题意知a1≤＜a2对任意的x∈都成立．设k＝，则k为函数f(x)＝sinx，x∈上任意一点与原点连线的斜率，又f′(x)＝cosx，f′(0)＝1，所以≤＜1，所以a2－a1的最小值是1－.答案：1－9．解析：f′(x)＝(lnx－ax)＋x＝lnx＋1－2ax，令f′(x)＝0，得2a＝.设φ(x)＝，则φ′(x)＝－，易知φ(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以φ(x)max＝φ(1)＝1，则φ(x)的大致图象如图所示，若函数f(x)有两个极值点，则直线y...
