课时分层作业(十四)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的()A．北偏东15°B．北偏西15°C．北偏东10°D．北偏西10°B[如图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，∴∠CBA＝45°，而β＝30°，∴α＝90°－45°－30°＝15°，∴点A在点B的北偏西15°.]2．已知A船在灯塔C北偏东80°处，且A到C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°处，A，B两船的距离为3km，则B到C的距离为()A．－1B．(2－1)kmC．3D．2A[由条件知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，设BC＝xkm，则由余弦定理知9＝x2＋4－4xcos120°， x＞0，∴x＝－1.]3．如图所示，设A，B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是m米，∠BAC＝α，∠ACB＝β，则A，B两点间的距离为()A．B．C．D．C[在△ABC中，∠ABC＝π－(α＋β)，AC＝m，由正弦定理，得＝，所以AB＝＝.]4．一艘船上午9：30在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°的方向，且与它相距8海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°的方向，此船的航速是()A．8(＋)海里/小时B．8(－)海里/小时C．16(＋)海里/小时D．16(－)海里/小时D[由题意得在三角形SAB中，∠BAS＝30°，∠SBA＝180°－75°＝105°，∠BSA＝45°.由正弦定理得＝，1即＝，得AB＝8(－)，因此此船的航速为＝16(－)(海里/小时)．]5．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500m，则电视塔在这次测量中的高度是()A．100mB．400mC．200mD．500mD[由题意画出示意图，设高AB＝h，在Rt△ABC中，由已知BC＝h，在Rt△ABD中，由已知BD＝h，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos∠BCD得，3h2＝h2＋5002＋h·500，解之得h＝500(m)．故选D．]二、填空题6．甲、乙两楼相距a，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________．a，a[甲楼的高为atan60°＝a，乙楼的高为a－atan30°＝a－a＝a.]7．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.10[如图，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝×30＝10(m)，在△MON中，由余弦定理得，MN＝＝＝10(m)．]8．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a海里的B处，乙船向正北行驶，若甲船是乙船速度的倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东______(填角度)的方向前进．30°[设两船在C处相遇，则由题意∠ABC＝180°－60°＝120°，且＝，由正弦定理得＝＝⇒sin∠BAC＝.2又0°＜∠BAC＜60°，所以∠BAC＝30°.]三、解答题9.如图所示，在高出地面30m的小山顶上建造一座电视塔CD，今在距离B点60m的地面上取一点A，若测得∠CAD＝45°，求此电视塔的高度．[解]设CD＝xm，∠BAC＝α，则tanα＝＝，又∠DAB＝45°＋α，tan∠DAB＝＝，又tan(α＋45°)＝＝3，∴＝3，∴x＝150m，即电视塔的高度为150m.10.一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行(2－2)nmile到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行4nmile到达海岛C.(1)求AC的长；(2)如果下次航行直接从A出发到达C，求∠CAB的大小．[解](1)由题意，在△ABC中，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°，AB＝2－2，BC＝4，根据余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC＝(2－2)2＋42＋(2－2)×4＝24，所以AC＝2.故AC的长为2nmile.(2)根据正弦定理得，sin∠BAC＝＝.所以∠CAB＝45°.[能力提升练]1．如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10m，吊杆AC＝15m，吊索AB＝5m，起吊的货物与岸的距离AD为()3A．30mB．mC．15mD．45mB[在△ABC中，cos∠ABC＝＝，∠ABC∈(0°，180°)，∴sin∠ABC＝＝，∴在Rt△ABD中，AD＝AB·sin∠ABC＝5×＝.]2．如图，某山上原有一条笔直的山路BC，现在又新架设了一条...
